Inverse Function   역 함수

1. 역 함수 (Inverse Function) 이란?

  ㅇ 변수와 함수값을 서로 뒤바꾸어도 얻어지는 함수
       
[# f^{-1}(y) = x \; \longleftrightarrow \; f(x) = y #]
     - f가 x를 y로 사상시키면, 역으로 f-1은 y를 x로 사상시킴
        . y가 x의 함수일 때, 그 역으로 x를 y의 함수로 본 것
       
[# f^{-1}(x) = y \; \longleftrightarrow \; f(y) = x #]
     - f가 y를 x로 사상시키면, 역으로 f-1은 x를 y로 사상시킴
        . x가 y의 함수일 때, 그 역으로 y를 x의 함수로 본 것

  ㅇ 역 함수 例) f(x) = x3의 역 함수는, f-1 = x1/3
     - 즉, 
[# y=x^3 #]
일 때, 
[# f^{-1}(y) = f^{-1}(x^3) = (x^3)^{1/3} = x #]

  ㅇ (명칭)  모든 함수가 역 함수를 갖지 못함
     - 따라서, 역 함수가 존재하는 갖는 함수를,
        . 가역적(Invertible) 또는 일대일 대응 또는 전단사 함수 라고 함

  ㅇ (호칭)  f−1는, f의 역 함수 또는 f inverse 라고 읽음


2. 역 함수가 존재하는 (가역 함수가 될) 필요충분조건

  ㅇ (충분조건)  `단사 함수` 또는 `전사 함수`이면 가역 함수가 될 충분조건 임

  ㅇ (필요충분조건)  `전단사 함수(일대일 대응)`인 경우에 만 가역 함수가 될 필요충분조건 임
     - 즉, 전단사 함수의 역 함수는 항상 유일하게 존재함
        . 정의역과 치역이 뒤바뀐 관계를 이루어야 함
           .. f-1의 정의역 = f의 치역
           .. f의 정의역 = f-1의 치역

  ㅇ 가역 함수가 안되는 例   
     - f : X → Y 에서, Y의 모든 원소가 X에 1:1 대응 않고 남거나 2 이상 대응되는 경우


3. 역 함수의 성질

  ㅇ f,f-1 또는 f-1,f를 차례로 적용하면, 다시 원래의 변수로 되돌아 감 
       
[# f^{-1}(f(x)) = x \;,\;\; f(f^{-1}(x)) = x #]
     - 즉, x를 넣으면 같은 x가 결과로 나옴

  ㅇ 위 성질과 동등한 표현으로,
     - `함수`와 그 `역 함수`의 합성 함수는 항등 함수가 됨
        
[# f^{-1} \circ f = f \circ f^{-1} = I #]
     - 즉,
        
[# \left( f \circ f^{-1} \right) (y) = f \left( f^{-1} (y) \right) = f(x) = y \\
           \left( f^{-1} \circ f \right) (x) = f^{-1} \left( f(x) \right) = f^{-1}(y) = x #]

  ㅇ 역 함수의 역 함수는 원래 함수인 자기 자신이 됨
       
[# (f^{-1})^{-1} = f #]

  ㅇ 가역 함수들의 합성 함수도 가역적 임
       
[# (f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1} #]
     - 단, 그 역은 성립 안됨 
        . (즉, 합성 함수가 가역적이라고, 각각의 함수들이 가역적이지는 않음)

 
4. 역함수 관계인 함수들 例)

  ㅇ 삼각함수  ↔  역 삼각함수 (Inverse Trigonometric Function)

  ㅇ 지수함수  ↔  로그함수 (Logarithmic Function)