1. 함수(Function) 이란?
ㅇ [일반]
- 두 양의 의존적인 관계의 표현
ㅇ [규칙으로써의 함수]
- 한 집합의 원소들을 다른 집합의 원소들에 대응/지정/사상/할당해 주는 규칙
. 어떤 공간에서 다른 공간으로 가는(매핑하는) 규칙
ㅇ [관계로써의 함수]
- 두 변수 사이의 대응 관계 ☞ 관계 참조
. 즉, 두 집합 원소 사이의 대응하는 관계(의존 관계,연관 관계)를 나타냄
ㅇ [신호로써의 함수]
- 변하는 정보를 갖는 함수 (즉,어떤 정보에 의존하는 것) ☞ 신호 참조
ㅇ [프로그래밍에서의 함수]
- 일련의 기능을 하나로 모아두고, 언제든 호출할 수 있게하는 것 ☞ 함수 참조
2. 함수에 대한 역사
ㅇ `function(기능,작용을 의미)`은 라틴어 `functio`에서 옴
ㅇ 함수를 `function`으로 호칭 (Leibniz,1646~1716) : 특수한 수학공식(a2 등)을 지칭 (1673년)
ㅇ 입출력 의존 관계로서의 함수 (Euler,1707~1783) : 즉, y = f(x) (1734년)
ㅇ 두 집합 사이의 관계 (디리클레,Dirichlet,1805~1859) : 처음으로 공식화 (1837년)
ㅇ 오늘날에는 함수를 두 집합 원소들(둘 이상의 변수들) 사이의 대응 관계를 의미함
3. `함수(Function)`, `사상(Mapping)`, `변환(Transformation)`
※ ☞ 변환 매핑 함수 연산 투영 코딩 비교 참조
- 모두 사실상 같은 의미를 갖음
. 각 분야에서 관례적으로 특정 용어를 각각 선호하며 사용하고 있음
.. 예를들면, 선형대수학에서는 `함수`,`사상` 보다는 `변환`이라는 용어를 더 선호
. `연산자(Operator)`,`대응규칙(Corresponence Rule)`도 함수라고 할 수 있음
ㅇ 좁은 의미의 함수는,
- 1 이상의 독립변수 값이 단 하나의 종속변수 값에만 대응되는 관계 (多:1 또는 1:1)
. 각 원소를 입력으로할 때, 유일한 원소를 출력으로 내놓는 규칙 f
.. 모든 가능한 값 x가 꼭 하나의 값 y를 결정하는 규칙 (1:1)
4. 함수의 표기, 표현
ㅇ {# f : X \rightarrow Y #}
- `집합 X에서 집합 Y로의 함수 f`
- `집합 X를 집합 Y로 매핑하는 함수 f`
- `두 집합 X,Y에서 X의 원소 x에 Y의 원소 하나씩을 대응시키는 규칙`
ㅇ {# x \xrightarrow{\; f \;} y #} 또는 {# f : x \rightarrow y #}
- `f가 x를 y로 보냄`
- `f가 x를 y에 대응시킴`
ㅇ {# x \mapsto y #} 또는 {# x \mapsto f(x) #}
- `x가 y로 매핑됨`
. 기호 {# \mapsto #}는 함수인지가 명확하여, 굳이 함수 f를 명기하지 않을 때 유용한 표기법
- 규칙 f가 두 집합의 각 원소 x,y를 결합시키면서, y = f(x)로 표현 가능
. 이때, x를 독립변수, y를 종속변수 라고 함
※ [함수 관련 용어]
- 정의역(Domain of Definition) : 가능한 입력의 집합 (X)
- 공역(Codomain) : 가능한 출력의 집합 (Y)
- 치역(Range) : 함수가 실제로 취하는 출력 원소의 집합
- 상(image) : 정의역 원소 x에 대응하는 치역 원소 값인 f(x)를 말함
. 함수 f에 의한 x의 상 또는 함수값 ⇒ f(x) ( x∈X, f(x)∈Y )
5. 함수의 종류(구분)
※ ☞ 함수 종류 참조
- 기본함수, 초월함수, 역함수, 우함수, (단사 함수, 전사 함수, 전 단사 함수),
특수함수 (베셀함수, 르장드르함수, 계승함수) 등
6. 함수의 근사 (☞ 급수, 테일러 근사, 함수 근사 등 참조)
ㅇ 함수의 근사값 계산에 편리하도록 만든 식
[# f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \cdots #]
ㅇ 선형근사식, 일차근사식 (Linear Approximate Expresssion)
[# L(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) #]