Ensemble   앙상블

1. 앙상블 (Ensemble) 이란?

  ㅇ 영어 뜻으로는, `함께,동시에,통일,조화` 등을 의미

  ㅇ 앙상블  :  { X(t, ξ) }
     - 랜덤 프로세스의 결과로써 나올 수 있는 모든 멤버들의 모음/집단
        . 결국, `랜덤 프로세스에 관한 모든 정보를 갖고 있는 총합`을 의미

     * [참고] ☞ `표본 랜덤변수 랜덤과정 앙상블 비교` 참조


2. 앙상블 멤버 (Ensemble Member) 이란?

  ㅇ 앙상블 멤버 / 표본 함수  :  X(t, ξ)
     - 랜덤 프로세스의 결과 하나 하나에 대응될 수 있는 표본 시간 함수

     

  ※ 한편, 이러한 앙상블에 대해, 아래와 같이 평균적 특성을 살펴보는 것이 바람직할 때가 많음


3. 앙상블 평균, 통계적 평균, 집합 평균  : 고정된 시점에 초점을 맞춤 

  ㅇ 시간 t에서 랜덤과정 X(t)의 기대값(평균)
     - 정상과정(Stationary Process) 하의 특정 시간 t에서,
        . 모든 가능한 시행 결과값들의 기대값(평균)
     - 즉, 확률실험에서 나올 수 있는 모든 가능한 결과값들의 평균

  ㅇ 앙상블 평균 (1차 모멘트)
      
[# μ_X(t) = E[X(t)] = \int^{\infty}_{-\infty} x f_X(x,t)dx #]
     
  ㅇ 앙상블 분산 (2차 모멘트)
      
[# σ^2_X(t) = E[\left(X(t)-μ_X(t)\right)^2] = \int^{\infty}_{-\infty} \left(x(t)-μ_X(t)\right)^2 f_X(x,t)dx #]

  ㅇ 랜덤과정에서 앙상블 평균,앙상블 분산은,
     - 시간에 따라서 변할 수 있는 시간의 함수가 됨

  ㅇ 서로다른 두 시점에서 앙상블의 유사성(상관성) => 자기상관
      
[# R_X(t_1,t_2) = E[X_1(t)X_2(t)] = \int^{\infty}_{-\infty} \int^{\infty}_{-\infty} x_1x_2 f_{X_1X_2}(x_1,t_1;x_2,t_2) \, dx_1dx_2 #]
     - {#R_X(t_1,t_2)#} : 자기상관함수
     - {#f_{X_1X_2}(x_1,t_1;x_2,t_2)#} : 결합 확률밀도함수


4. 시간 평균                            : 시간적 변화에 만 관심을 갖음

  ㅇ 일반적으로, 결정신호에 대한 비확률적인 시간 평균을 주로 지칭하나,

  ㅇ 여기서는, 어떤 앙상블 맴버(표본 함수) 중 하나를 취하고,
     시간 평균을 구한 것을 말함

  ㅇ 시간 평균의 기호
     
[# < x(t) > = \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int^{T/2}_{-T/2} x^2(t) \, dt #]


5. 에르고딕성 ( 앙상블 평균 = 시간 평균 )

  ㅇ 정상상태 과정(랜덤과정의 통계적 성질이 시간에 따라 변하지 않음) 하에서,
     - 집단 전체에 대한 시간 평균과 앙상블 평균이 같아지는 성질