Expected Value, Expectation   기대치, 기대값

1. 기대값 (Expectation)

  ㅇ 기대값은 단순한 평균 그 이상으로 일반화된 개념임
     - 예측/추정하려는 어떤 특정값이 아닌, 기대되는 예측치들의 평균값

  ㅇ 확률 개념이 포함된 평균
     - 확률분포의 성격을 결정짓는 확률적 평균치
     - 확률변수가 나타내는 확률분포에서 중심 경향/위치 (즉, 대표적인 값)
     - 확률변수에 취해지는 가중평균 : 
[# E[X] = \sum^n_{i=1} x_i P(x_i) #]


2. 기대값, 평균 비교

  ㅇ 기대값(Expected Value)
     - 이따금, 평균(Mean Value)과 같은 의미로 잘못 사용됨
     - 기대값은 모집단에 대한 통계적 파라미터 중 하나로써 기대되는 예측치들의 평균값을 의미
        . 즉, 모집단 확률분포의 모수에 대한 무게중심으로 기대되는 값

  ㅇ 결국, 
     - 기대값은 매 표본 집단 마다 얻어지는 표본 평균들에 대한 일반화임 
        . 시행횟수 n -> ∞ 이면, 표본평균은 모집단(확률변수)의 기대값에 수렴   ☞ 대수의 법칙

  ㅇ (기대값,평균 표기 관례)
     - 확률변수 X에 대한 기대값(Expectation) 표기  :  E[X] 또는 < X > 
     - 확률변수 X에 대한 평균(Mean)  표기  :  


3. 기대값 정의 식

  ※ 확률변수에 의한 확률밀도함수,확률질량함수 등과 관련된
     적분식(integral) 또는 합(summation)으로써 정의/계산됨
       
     - [참고] ☞  확률 모멘트 (1차 모멘트)

  ㅇ 이산 확률변수의 기대값
     

  ㅇ 연속 확률변수의 기대값
     


4. 확률변수 함수 g(X)의 기대값

  ㅇ 단일 확률변수 함수의 기대값
    

  ㅇ 다변량 확률변수 함수의 기대값
    


5. 조건부 기대값 (Conditional Expected Value)

  


6. 기대값 관련 성질

  ㅇ 확률변수와 그 평균과의 차이의 기대값은, 영(0)이 됨
     
     
  ㅇ 확률변수의 가중 합의 기대값은, 각 확률변수의 기대값을 가중한 합과 같음
     

  ㅇ 기대값과 분산과의 관계는,
     
     - Var[·] : 분산, E[·] : 기대값, μ : 평균