원운동 벡터 표현

1. 원운동 벡터 표현

  ※ 원운동을, 극좌표계로 표현하면, 위치,속도,가속도를 매우 간결하게 나타낼 수 있음


2. 단위 벡터 및 시간 미분

  ㅇ {#\mathbf{e}_r#} : 중심에서 바깥쪽을 향하는 반경 방향
     - {# \mathbf{e}_r = \cos\theta\,\mathbf{i} + \sin\theta\,\mathbf{j} #}
     - {# \frac{d\mathbf{e}_r}{dt} = \frac{d\mathbf{e}_r}{d\theta} \frac{d\theta}{dt} 
        = (-\sin\theta\,\mathbf{i}+\cos\theta\,\mathbf{j})\frac{d\theta}{dt} 
        = \mathbf{e}_\theta\,\frac{d\theta}{dt} = \dot{\theta}\mathbf{e}_\theta #}
  ㅇ {#\mathbf{e}_\theta#} : 원 주위를 도는 접선 방향
     - {# \mathbf{e}_\theta = -\sin\theta\,\mathbf{i} + \cos\theta\,\mathbf{j} #}
     - {# \frac{d\mathbf{e}_\theta}{dt} = \frac{d\mathbf{e}_\theta}{d\theta} \frac{d\theta}{dt} 
        = (-\cos\theta\,\mathbf{i}-\sin\theta\,\mathbf{j})\frac{d\theta}{dt} 
        = -\mathbf{e}_r\,\frac{d\theta}{dt} = -\dot{\theta}\mathbf{e}_r #}
  ※ 이 두 단위벡터는 서로 직교함  :  {# \mathbf{e}_r \cdot \mathbf{e}_\theta = 0 #}

     


3. 위치 벡터 (Position Vector)  

  ㅇ 원점으로부터 입자까지의 위치
     - {# \mathbf{r} = r\,\mathbf{e}_r #}
        . {#r#} : 반경
        . {#\mathbf{e}_r#} : 반경 방향 단위벡터


4. 속도 벡터

  ㅇ 위치 벡터를 시간에 대해 미분하면, 곱의 미분법에 의해,
     - {# \mathbf v = \dot r\mathbf e_r + r\frac{d\mathbf e_r}{dt} #}
        . {# \mathbf{e}_r = \cos\theta\,\mathbf{i} + \sin\theta\,\mathbf{j} #}
        . {# \frac{d\mathbf{e}_r}{dt} = -\sin\theta\,\dot\theta\,\mathbf{i} + \cos\theta\,
             \dot\theta\,\mathbf{j} #}
        . {# \mathbf{e}_\theta = -\sin\theta\,\mathbf{i} + \cos\theta\,\mathbf{j} #} 
        . {# \frac{d\mathbf{e}_r}{dt} = \dot\theta\,\mathbf{e}_\theta #}
        . {# \mathbf{v} = \dot r\,\mathbf{e}_r + r\dot\theta\,\mathbf{e}_\theta #}

  ㅇ 속도 벡터는,
     - {# \mathbf{v} = \dot r\,\mathbf{e}_r + r\dot\theta\,\mathbf{e}_\theta #}
        . {#\dot r#} : 반경 방향 속도 (반지름이 늘어나거나 줄어드는 속도)
        . {#r\dot\theta#} : 접선 방향 속도 (방향이 회전하므로 생기는 접선 속도)
     - 원운동에서는 반지름이 일정하므로,
        . {# \dot r = 0 #}
     - 따라서,
        . {# \mathbf{v} = r\omega\,\mathbf{e}_\theta #}  ({#\omega=\dot\theta#})
     - 즉, 속도는 항상 접선 방향임


5. 가속도 벡터

  ㅇ 속도 벡터를 시간에 대해 미분하면, 곱의 미분법에 의해,
     - {# \mathbf{a} = \frac{d\mathbf{v}}{dt} 
            = \frac{d}{dt}(\dot r\,\mathbf{e}_r + r\dot\theta\,\mathbf{e}_\theta) 
            = \frac{d}{dt}(\dot r\,\mathbf{e}_r) + \frac{d}{dt}(r\dot\theta\,\mathbf{e}_\theta)#}
        . {# \frac{d}{dt}(\dot r\,\mathbf{e}_r) = \ddot r\,\mathbf e_r + \dot r\,\frac{d\mathbf e_r}{dt} = \ddot r\,\mathbf e_r + \dot r\dot\theta\,\mathbf e_\theta #}
        . {# \frac{d}{dt}(r\dot\theta\,\mathbf{e}_\theta)
 = (\dot r\dot\theta+r\ddot\theta)\mathbf e_\theta + r\dot\theta\frac{d\mathbf e_\theta}{dt}
 = (\dot r\dot\theta+r\ddot\theta)\mathbf e_\theta - r\dot\theta^2\mathbf e_r #}
     - {# \mathbf{a} = (\ddot r-r\dot\theta^2)\mathbf e_r
                     + (2\dot r\dot\theta+r\ddot\theta)\mathbf e_\theta #}

  ㅇ 원운동의 경우, r = 일정, {# \dot r=\ddot r=0 #} 이므로,
     - {# \mathbf{a} = -r\omega^2\mathbf{e}_r + r\alpha\mathbf{e}_\theta #}
        . {# \omega=\dot\theta #} : 각속도
        . {# \alpha=\dot\omega=\ddot\theta #} : 각가속도


6. 등속 원운동의 가속도

  ㅇ 등속 원운동은,
     - {#r#} = 일정, {#\omega#} = 일정, {#\alpha=0#} 이므로,
     - {# \mathbf{a} = -r\omega^2\mathbf{e}_r = -\frac{v^2}{r}\mathbf{e}_r #}

  ㅇ 즉,
     - 반경 성분(구심가속도) : {#-r\omega^2\mathbf{e}_r#}
     - 접선 성분 : 0
     * 반경성분 만을 갖음, 항상 원의 중심을 향함