Tensor   텐서

1. 텐서 (Tensor)

  ㅇ 다차원 데이터의 일반화된 구조
     - 스칼라(0차원 텐서),벡터(1차원 텐서),행렬(2차원 텐서) 등을 확장,일반화시킨 것 
        . 다차원 배열(multidimensional array) 또는 다중 인덱스를 갖는 수학적 객체

  ㅇ 특징
     - 좌표계에 무관한 독립성 부여 가능
        . 좌표계 변환에 따라 특정 규칙을 따르는 변환을 거침
     - 주로, 다차원 배열로 표현되며, 각 차원은 축(axis) 또는 모드(mode)라고 불림
     - 특히, 외부에서 가해진 자극(힘 등)과 이로인해 물질 내 발생하는 감응 효과 관계에 대한, 
        . 그러한 물리량을 표현하는데 유리함

  ㅇ 응용
     - 다차원 데이터 구조를 다루는 핵심 도구
        . 물리학에서, 응력,변형률,전자기장 등을 표현하는 데 사용
        . 기계학습에서, 이미지,비디오,텍스트 등 복잡한 데이터의 처리,모델을 학습시키는데 사용
        . 컴퓨터 그래픽스에서, 3차원 공간의 회전,이동,변형 등을 표현하는 데 사용하는 등
     - 특히, 좌표계 변환이나 다차원 데이터 표현이 필요할 때, 텐서의 개념이 자주 응용됨


2. 텐서의 차수 (Order,Rank)  :  (차원에 따른 정의)

  ㅇ 0차원 텐서  :  스칼라 v0
     - 3차원 직교 카트시안 좌표계에서 1개의 성분을 갖음
     - (표현) :  단일 숫자 (온도 등)
        . 온도,질량 등 단일 값을 나타내는 0차원 텐서
  ㅇ 1차원 텐서  :  벡터 vi
     - 3차원 직교 카트시안 좌표계에서 3개의 성분 (v1,v2,v3)을 갖음
        . 스칼라 : 1개 성분
        . 벡터 : 3개 성분
     -  (표현) : 숫자의 나열 (x,y,z 위치 등)
        . 속도,힘 등 방향과 크기를 가진 1차원 텐서(벡터)
  ㅇ 2차원 텐서  :  행렬 (σij)
     - 9개의 성분 (3 x 3 = 9)을 갖음
         
     - (표현) : 숫자의 2D 배열 (변환 행렬 등)
        . 이미지,변환 행렬 등 2차원 데이터를 나타내는 2차원 텐서(행렬)
  ㅇ 다차원 (3차원 이상) 텐서  :  다차원 배열
     - 일반적으로, 3n개의 성분을 갖음  
     - (표현)
        . 이미지 데이터는, 3차원 텐서 (H x W x C) 
           .. 이미지 데이터의 RGB 값 (☞ 픽셀 값 표현) 등
        . 동영상 데이터는, 4차원 텐서 (T x H x W x C)


3. 텐서의 표현

  ㅇ 텐서의 차원 (rank)  :  축(axis) 또는 차원의 개수를 의미
  ㅇ 텐서의 크기 (shape)  :  각 차원의 크기
     - 例) (3,4,2) 크기의 텐서는,
        . 3개의 차원을 가지고 있으며, 각각의 크기는 3, 4, 2
     - 例) 2차원 행렬은 2차 텐서이며, (m,n) 형태를 가짐


4. 텐서의 표기법

  ㅇ 직접(블록) 표기법
     - 좌표계와 무관하게, 불변적인 형태로 표현하는 방식
        . 좌표계를 초월하여 물리 법칙,수학적 관계의 보편성을 강조
     - 例) 텐서 T를, 특정 좌표계 성분에 의존 않고, 행렬로 직접 나타남
        
[# \mathbf{T} = \begin{bmatrix} T_{11} & T_{12} \\ T_{21} & T_{22} \end{bmatrix}#]
     - 특징
        . 텐서를 행렬 또는 블록 구조로 표현
        . 좌표계 독립적이므로, 직관적,보편적 이해에 유리
     - 응용 : 전기장과 자기장의 관계 (전기분극,자화 등) 

  ㅇ 지수(첨자,성분) 표기법
     - 특정 좌표계에서, 각 성분에 대한 수치적 관계로 표현하는 방식
        . 물리적 방정식을 구체적인 좌표값으로 풀거나, 텐서의 성분 간 연산을 수행할 때 사용
        . 인덱스를 사용해 성분을 명시적으로 표현
     - 例) 2차원 텐서 Tij에서 좌표 변환
        
[# T_{ij} \rightarrow T_{i'j'} = \sum_{k,l} R_{ik}R_{jl}T_{kl} #]
        
     - 특징
        . 계산과 성분별 조작에 적합
        . 특히, 수치해석이나 특정 좌표계에서의 텐서 변환에 유용
     - 응용 : 응력 - 변형 텐서 등

  ㅇ 기저벡터 표기법
     - 기저벡터와 성분으로 분리하여, 표현하는 방식
        . 텐서의 구조와 좌표계의 관계에 대해, 기저벡터를 포함시켜 나타냄
           .. 좌표축에 의존하여 기저벡터를 명시
           .. 텐서를 공변, 반변 또는 혼합 텐서로 나타냄
     - 例) 2차원 텐서
        . 벡터 {#\mathbf{v}#}를 기저 {#\mathbf{e}_i#}로 표현 : {# \mathbf{v} = v^i\mathbf{e}_i #}
        . 2차 텐서 T : {# T = T_{ij}e^i \otimes e^j#}
     - 특징
        . 기저의 변화에 따른 텐서 성분의 변환을 쉽게 이해 가능
        . 텐서의 기하학적 의미를 명확히 전달 가능


5. 텐서의 가능한 연산들

  ㅇ 덧셈, 뺄셈, 곱셈 (스칼라 또는 요소별 연산)
  ㅇ 행렬 곱셈 및 내적
  ㅇ 축소 연산 (Sum, Mean 등)
  ㅇ 전치(Transpose) 및 재배열(Reshape)
  ㅇ 텐서 분해 (SVD, PCA 등)