Set Operation   집합 연산

1. 집합 연산(Set Operation) 또는 집합 대수/산술(Set Arithmetic)

  ㅇ 덧셈,뺄셈,곱셈과 같은 수의 연산 처럼 집합 간에 취해지는 연산 
     - 여러 집합 간의 연산으로 새로운 집합을 만드는 것


2. 집합 연산의 구분

  ㅇ 합 집합 (Union, Sum of Sets)
     -   A ∪ B  = { x ∈ X : x ∈ A 또는 x ∈ B }
        .  집합 A 또는 B에 속하는 모든 원소의 집합
           .. 例) {1,2,} ∪ {1,3,4} = {1,2,3,4}
        .  사건의 합 집합 : 적어도 1 이상의 사건이 일어나는 것
        .  논리연산 OR에 해당

  ㅇ 교 집합 (Intersection, Intersection of Sets)
     -   A ∩ B  = { x ∈ X : x ∈ A 이고 x ∈ B }
        .  두개의 집합 A,B에 공통으로 속하는 원소를 포함하는 집합
           .. 例) {1,2,} ∩ {1,3,4} = {1,3}
        .  사건의 교 집합 : 2 이상의 사건들이 동시에 일어나는 것
        .  논리연산 AND에 해당

  ㅇ 차 집합 (Difference, Difference of Sets)
     -   A - B  = { x ∈ X : x ∈ A 이고 x  B }
        .  A에는 속하나 B에는 속하지 않는 원소들의 집합
           .. 例) {1,2} - {1,3,4} = {2}

  ㅇ 곱 집합 (Product, Product of Sets)                                  ☞ 카테시안 곱 참조
     -   A x B = { (a,b) | a∈A and b∈B }
        .  두 집합 A,B의 원소들로 만들어지는 모든 (a,b)들의 집합
           .. 例) A = {1,2}, B = {a,b} 이면, A x B = {(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)}


3. 집합의 연산 법칙 (집합의 대수 법칙)

  ㅇ 항등법칙 (Identity Law)
     -   A ∪ ∅ = A,  A ∪ U = A

  ㅇ 멱등법칙, 동일률 (Idempotent Law)
     -   A ∪ A = A,  A ∩ A = A,  A - A = ∅

     * 멱등성 (idempotent : 동일 연산을 여러번 취해도 같은 결과를 내놓는 것)
        . f(f(x)) = f(x), a * a = a, p ∧ p = p, p ∨ p = p

  ㅇ 교환법칙 (Communicative Law)
     -   A ∪ B = B ∪ A,  A ∩ B = B ∩ A

  ㅇ 결합법칙 (Associative Law)
     -   ( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C )
     -   ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C )

  ㅇ 분배법칙 (Distributive Law)
     -   A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C )
     -   A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C )

  ㅇ 여집합법칙 (Complement Law)
     -   A ∪ Ac = U,  A ∩ Ac = ∅, A - Ac = A

  ㅇ 드모르간의 법칙
     - 제1법칙  
        . 두 집합의 합집합의 보집합은 각각의 집합의 보집합의 교집합과 같음
           .. {# \overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B} #}
           .. (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc
     - 제2법칙  
        . 두 집합의 교집합의 보집합은 각각의 집합의 보집합의 합집합과 같음
           .. {# \overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B} #} 
           .. (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc