Set of Residues, Residue Class, Factor System   잉여류, 잉여계

(2022-07-03)

Coset, 코셋


1. [정수론]  잉여류 (Set of Residues, Residue Class, 剩餘類)  Mr

  ㅇ 각각의 모든 정수를 양의 정수 m 로 나누었을 때, 
     - 나머지가 r 이 되는 수들의 모음
     - 즉, 나머지가 같게 되는 정수들의 집합

  ㅇ (표기)
     - M0, M1, M2, ..., Mn-1 
     - 또는, {#\bar{0}#}, {#\bar{1}#}, {#\bar{2}#}, ..., {#\overline{n-1}#}
     - 또는, Ma, {#\bar{a}#}, [a]

  ㅇ (例) 
     - 각각의 모든 정수를 3으로 나누었을 때,
        . M0 = {0,3,6,9,...}  = { 3m | m∈Z }   = {나머지가 0 인 수} = {#\bar{0}#} = [0]
        . M1 = {1,4,7,10,...} = { 3m+1 | m∈Z } = {나머지가 1 인 수} = {#\bar{1}#} = [1]
        . M2 = {2,5,8,11,...} = { 3m+2 | m∈Z } = {나머지가 2 인 수} = {#\bar{2}#} = [2]

     - 위 예에서, 각 집합을 잉여류 (Residue Class) 라고 함
        . 이들 각 집합은, 모든 정수의 집합분할 하게 됨
        . 특히, 수 집합 전체가 무한집합에서 유한집합 {#\bar{Z}_3#} = { {#\bar{0},\bar{1},\bar{2}#} } = { M0,M1,M2 }이 되게 함
        . 즉, 분할하여 얻어진 작은 부분집합들이 잉여류 임

  ㅇ (명칭/호칭)
     - `법 n에 관한 잉여류 (Residue Classes Modulo m)` 
     - 또는, `n을 법으로하는 합동에 대한 동치류` 라고도 함

  ㅇ 잉여류 간의 대수적 성질
     -  [a] ⊕ [b] = [a ⊕ b]   (addition)
     -  [a] ⊙ [b] = [a ⊙ b]  (multiplication) 


2. [정수론]  잉여계 (Factor System, 剩餘系)  Rm

  ㅇ 각 잉여류에서 임의의 정수를 하나씩 취해 만든 집합

     - 例) R3 = {0,1,2} 또는 {3,1,5} 등

  ㅇ (호칭)
     - 이를 `법 m에 관한 완전잉여계 (Complete System of Residues Modulo m)` 라고도 함

  ㅇ 정수에서, 잉여계(잉여류의 집합)의 표기,명칭
     - 정수집합 {#\mathbb{Z}#}에서 법 n에 대한 잉여계는,
         {# \mathbb{Z}_n = \{ \; \bar{0}, \; \bar{1}, \; \cdots, \; \overline{n-1} \; \} #}
     - 이를, `n을 법으로 하는, 모든 잉여류들 (작은 부분집합들)의 집합` 이라고 말함
        . (Set of Residue Classes Modulo n)
     - 또는, 최소 잉여 집합 , (set of least residues modulo n) 이라고도 함
     - 때론 간략히, Zn = {0,1,2,...,n-1} 으로 나타내기도 함


3. [추상대수학]  잉여류 (Residue Class)의 일반화  =>  코셋 (Coset)

  ※ 영어로 Coset는 아래의 준말 
     - `a set of members having a common feature (공통된 특징을 갖는 멤버들의 집합)`

  ㅇ 의의
     - 코셋은, 위 1.항의 정수에서의 잉여류를, 
     - 군론에서 보다 일반화시킨 개념의 용어 로써,
     - 대단히 융통성 있는 개념적 도구로 쓰임

  ㅇ 例) 법 n에 대한 a의 잉여류 (a의 코셋) 
     - {#\bar{a}#} = { b ∈ Z : b ≡ a (mod n) }
     - 법 n으로 a와 합동인 모든 정수들의 집합
     - 또는, {#\bar{a}#} = { a + n k : k ∈ Z }

  ㅇ 성질
     - 전체 모임을 코셋에 의해 분할이 가능함
     - 이때, 전체의 부분군 마다, 매 코셋은 모두 동일한 개수의 원소를 갖음 

  ※ [응용] ☞ 통신에서의, 표준 배열(Standard Array) 참조
     - 여기서, 코셋은, 표준 배열 상의 각 행을 말함
     - 이때, 각 행은, 공통 특징(즉,동일 오류 패턴)을 갖는 요소들로 이루어짐



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