푸리에 변환 성질, 푸리에 변환 주요 특성

(2021-02-12)

1. 푸리에 변환 성질

  ㅇ 두 변환영역(시간,주파수)에서 관련된 연산의 기본 성질을 보존하는 것


2. 푸리에 변환 주요 특성선형성 (Linearity)
     -   a x1(t) + b x2(t)  ↔  a X1(f) + b X2(f)

  ㅇ 쌍대성 (Duality)
     -   X(t)  ↔  x(-f)

  ㅇ 시간 이동 (Time Shift)
     - 시간영역에서 이동 t0주파수영역에서 복소지수 exp(-j2πft0)에 의한 곱과 같음
        .   x(t-t0)  ↔  X(f) exp(-j2πft0)

  ㅇ 주파수 이동 (이를 `변조`라고도 함) (Frequency Shift, Modulation)
     - 시간영역에서 복소지수 exp(-j2πf0t)에 의한 곱은, 주파수영역에서 f0의 이동과 같음
        .   exp(j2πf0t) x(t)  ↔  X(f-f0)
     - 시간영역에서 정현파를 곱하면, 주파수 이동함 
        .   cos(2πf0t) x(t)  ↔  1/2 [ X(f-f0) + X(f+f0) ]
        .   sin(2πf0t) x(t)  ↔  1/2j [ X(f-f0) - X(f+f0) ]

  ㅇ 시간비율변화 (Time Scaling)
     -   x(at)  ↔  1/|a| X(f/a)

  ㅇ 컨벌루션 (Convolution)
     -   x(t)*y(t)  ↔  X(f)Y(f)
     -   x(t)y(t)   ↔  X(f)*Y(f)

  ㅇ 시간 미분
     -   d/dt x(t)  ↔  j2πf X(f)
     -   dn/dtn x(t)   ↔  (j2πf)n X(f)

  ㅇ 주파수 미분
     -   t x(t)  ↔  (j/2π) d/df X(f)
     -   tn x(t)  ↔  (j/2π)n dn/dfn X(f)

  ㅇ 시간 적분
        
[# \int^t_{-\infty} x(τ)τ \quad \leftrightarrow \quad \frac{1}{j2πf}X(f) + \frac{1}{2}X(0)δ(f) #]
시간함수 x(t)가 복소수일 때, 푸리에 변환 관계는 부호 바뀐 공액복소수(Complex Conjugate)가 됨 - x*(t) ↔ X*(-f) ㅇ 시간함수 x(t)가 실수일 때, 주파수영역에서 대칭성을 갖음 - X(-f) = X*(f) 또는 X(f) = X*(-f) . 즉, 푸리에 변환된 함수는 헤르미트 대칭(Hermitian Symmetry : 공액 대칭)을 갖음 - 헤르미트 대칭 특징 . 진폭위상 .. 진폭 => 우대칭 즉, |X(f)| = |X(-f)| .. 위상 => 기대칭 즉, arg[X(f)] = - arg[X(-f)] . 실수부 및 허수부 .. 실수부 Re{X(f)} => 우대칭 즉, Re{X(f)} = Re{X(-f)} .. 허수부 Im{X(f)} => 기대칭 즉, Im{X(f)} = - Im{X(-f)} * (의미) 양의 주파수의 X(f)를 알면, 음의 주파수의 X(f)도 알 수 있음 . 즉, 어느 한 쪽 만을 알아도 됨. (응용 例) ☞ SSB 변조 참조 ㅇ 레일리 에너지 정리(Rayleigh Energy Theorem) 또는 파스발 정리 (Parseval Theorem)
[# E = \int^{\infty}_{-\infty} |x(t)|^2dt = \int^{\infty}_{-\infty} |X(f)|^2df #]



Copyrightⓒ written by 차재복 (Cha Jae Bok)
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