1. 동형, 준동형, 사상 이란?
ㅇ 동형 (Isomorphic)
- 표현방법(외형)이 다를뿐, 2 이상의 수학적 대상물이 `구조상 같음` (동일시할 수 있음)
* `똑같은 형식(iso + morphe)`를 의미하는 그리스어에서 유래
ㅇ 준동형 (Homomorphism)
- 동형의 일반화로써, 2 이상의 수학적 대상물이 `구조상 닮음`
* `닮은 형식(homo + morphe)`를 의미하는 그리스어에서 유래
ㅇ 사상 (Morphism 또는 Mapping, 寫像)
- 변환/사상에서, 대수 구조를 그대로 보존하는 경우를 말함
. 즉, 변환/매핑/함수의 전후에도 `수학적 구조`를 그대로 보존함을 추상화한 것
* `형식/형태/모양 (morphe)`를 의미하는 그리스어에서 유래
ㅇ 따라서,
- 동형 사상 이란?
. 두 대상물 간에 어떤 변환/사상/함수(규칙)이 존재할 때(발생할 때),
. 원래 구조가 `같게` 보존되는 경우를 말함
- 준동형 사상 이란?
. 원래 구조가 `닮게` 보존되는 경우를 말함
. (선형대수학에서, 벡터공간 간의 선형변환과 유사)
* 수학적 대상물인 군,환,체 마다, 각 경우에 맞춰 달리 정의됨
2. 준동형 사상, 동형 사상, 자기동형 사상의 비교
ㅇ 준 동형 사상 (homomorphism)
- 두 대상 간의 변환/사상/함수에서 대수적 구조를 보존하는 형태의 하나로써,
. 단사 함수(Injection) 또는 전사 함수(Surjection)일 때를 말하며,
. 굳이, 전단사 함수(1:1 대응)일 때까지를 포함시킬 필요가 없는 경우
- 군에서, 준 동형 사상
. 군 (G,*)에서 군 (H,·)으로의 함수 f : G → H 일때,
. f(a * b) = f(a)·f(b) 가 성립
.. 두 이항연산인 좌변의 `*`과 우변의 `·`이,
.. 두 군 G,H 사이에서,
.. 대수적 구조를 그대로 보존
- 例) f(a) = 3a 로 주어지는 함수(매핑) f : Z → Z 은, 덧셈군에서 준 동형 사상 임
. a(a + b) = 3(a + b) = 3a + 3b = a(a) + a(b) (a, b ∈ Z)
ㅇ 동형 사상 (isomorphism)
- 두 대상 간의 변환/사상/함수에서 대수적 구조를 보존하는 형태의 하나로써,
. 전단사 함수(1:1 대응,Bijection)일 때를 말함
※ 결국,
- 준동형사상은 동형사상의 일반화이고,
- 동형사상은 준동형사상의 특별한 형태로서,
. 동형사상은 준동형사상에서 전단사 함수(1:1 대응)인 특별한 경우를 말함
ㅇ 자기 동형 사상 (automorphism)
- 자신에서 자신으로의 동형 사상일 때를 말함
. 일반적으로, 대칭(Symmetry)과 같은 의미