Binary Operation   이항 연산, 이진 연산

(2021-03-07)

Infix Notation, 중위 표기법, Prefix Notation, 전위 표기법, Postfix Notation, 후위 표기법


1. 이항 연산 (Binary Operation)

  ㅇ 두 항 간에 이루어지는 연산 
     - 입력 2개가 출력 1개를 산출


2. 이항 연산의 성질 및 의의닫힘 성질 (Closure Property)
     - 만일 a,b가 S 원소이면, a * b의 결과도 다시 S의 원소가 되는 성질
        .  a,b ∈ S 이고, a * b ∈ S 인 성질

     - 즉, 각 입력이 어떤 집합에서 선택되면, 그 결과값도 다시 그 집합 내에 속하게 됨 

     - 결국, 이항연산은, 항상 어떤 `집합` 상에서 만 이루어진다는 전제 조건이 주어짐
        . 즉, 집합 S 위의 두 원소 a,b를 뽑아 이항연산하면 그 결과가 다시 S의 원소가 됨

  ㅇ [수학적 의의]
     - 이항 연산은, 집합 위에 대수(연산)을 정의하고, 그 대수적 구조/성질을 찾으려는 기초 개념임
        . 비록, 동일 집합 원소에서도 연산이 다르면, 다른 대수적 구조를 가질 수 있으나,
        . 심지어, 다른 집합 원소에 다른 연산을 가해도, 같은 대수적 구조를 가질 수 있음

  ㅇ 이항 연산의 例) 
     - 정수에서 사칙연산 
        . 두 항 간에 이루어지는 뺄셈,덧셈,곱셈은,
           .. 입력과 출력이 모두 정수 집합에 있게 되는 이항연산이나,
        . 나눗셈은,
           .. 2개의 결과값(몫,나머지)을 산출하고 또한 결과값이 정수가 아닌 분수가 될 수 있으므로,
           .. 정수에서 사칙연산은 이항연산이 아님


3. 이항 연산의 표기법 종류

  ㅇ 중위 표기법 (中位,infix notation) : 例) A + B × C + D
     - 활용 例) 탁상용 전자계산기 등
     - 단, 곱셈,나눗셈은 덧셈,뺄셈 보다 우선순위를 두어 먼저 계산하는 경험적 규칙이 있으므로,
           소괄호()를 써서 연산의 우선순위를 강조하여 나타내곤 함
        . 즉, (A + B) × (C + D)
  ㅇ 전위 표기법 (前位,prefix notation) : 例) × + A B + C D
     - 활용 例) LISP 등
  ㅇ 후위 표기법 (後位,postfix notation) : 例) A B + C D + ×
     - 활용 例) 포스트스크립트 등


4. 이항 연산의 기호적 표현

  ㅇ (함수 기호적 표현)
     - ` * : S x S → S ` 또는 ` * : S2 → S `
        . 집합 S 위에서의 이항연산 * 는, S x S 에서 S 로 가는 함수 임
           .. 여기서, S x S 는 집합 S 의 순서쌍의 모음 (카테시안 곱)

     - [참고]
        . 단항 연산 (Unary Operation) 이면,   * : S → S
           .. 입력 1개에 작용하여 출력 1개를 산출하게 됨
        . 이항 연산 (Binary Operation) 이면,  * : S2 → S
           .. 입력 2개에 작용하여 출력 1개를 산출하게 됨
        . n항 연산  (n-ary Operation) 이면,   * : Sn → S
           .. 입력 n개에 작용하여 출력 1개를 산출하게 됨

  ㅇ (개별 기호적 표현)
     - a,b ∈ S 에 대응되는 S 의 원소를 나타내는 함수 ((a*b)) 를, 간략히 a * b 로 표기 함



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