Multi Degree of Freedom System   다 자유도 계

1. 2 자유도 계 (2 自由度 系, Two Degree of Freedom System)

  ㅇ 2 자유도 이상의 계들을 다 자유도 계라고 함
     - 일단, 2 자유도 계 만 해석되면, 그 이상인 경우에는 복잡할 뿐 새로운 개념은 없음 


2. 2 자유도 계의 특징

  ㅇ 운동을 표현하기 위해, 
     - 2개 독립 좌표 및 1개 관성 요소가 있게됨
     - 또는, 2개 독립 좌표 및 2개 관성 요소가 있을 수 있음

  ㅇ 2개의 고유진동수를 갖음
     - 통상, 2개 관성질량의 각각의 진동 간에 커플링(Coupling)이 있게 됨

  ㅇ 이때, 2개의 고유진동수 각각에 대응하는 2개의 정규 모드가 있고, 이들 간에 중첩이 있음

  ㅇ 각각의 자유도(관성질량) 마다 하나씩, 총 2개의 운동방정식(연립 미분방정식)으로 표현됨
     - 보통, 각 방정식이, 2개 좌표 모두를 포함하며, 결합되어 표현됨
        . 例) I (관성력) + D (감쇠력) + K (탄성복원력) = F (여기력)   ☞ 2차 시스템 참조
     - 통상, 여러 관성,감쇠,탄성 요소 등이 관여하므로, 
        . 행렬 형식을 빌어 운동을 표현하는 것이 편리함                ☞ 아래 4.항 참조


3. 다 자유도 계 (多 自由度 系, Multi Degree of Freedom System)

  ㅇ 일반적인 3 자유도 계
     - 3차원 공간에서 자유로이 움직이는 질점 : 3개 병진운동 자유도 (x,y,z) 
       

  ㅇ 다 자유도 계 例)
     - 3 자유도 계
        . 평면상에서 움직이는 강체 : 2개 병진운동 자유도(x,y), 1개 회전운동 자유도(θ)
          

     - 6 자유도 계
        . 3차원 공간에서 움직이는 강체 : 6개 자유도
           .. 3개의 병진운동 자유도, 3개의 회전운동 자유도
        . 例) 구속 없이 자유로운 강체 운동 ☞ 오일러 방정식 참조

     - 무한 자유도 계
        . 연속적 질량 분포 : 무한개 자유도
        . 例) 변형 가능한 1개 현(弦),1개 판(板) 등의 자유도는 무한 임


4. 다 자유도 계의 특징

  ㅇ 만일, 선형시스템이 N 자유도이면, 
     - N개의 운동 방정식 (행렬 형식)
        . 일반적인 형태  :  
[# [M]\{\ddot{q}\} + [[C]+[G]]\{\dot{q}\} + [[K]+[H]]\{q\} = \{Q\} #]
           ..  {#[M]#}  :  관성 행렬
           ..  {#[C]#}  :  감쇠 행렬
           ..  {#[K]#}  :  강성 행렬
           ..  {#[G]#}  :  자이로스코프 행렬,  {#[H]#}  :  순환 행렬
           ..  {#[Q]#}  :  힘 벡터
        . 이들 방정식은, 선형 연립 미분방정식의 행렬 형식이고, 
        . 여기서, 시스템 행렬의 특성방정식의 해가 고유진동수가 됨
     - N개의 고유 진동수 
        . 만일, 고유진동수 간의 간격(차이)가 좁으면(작으면), 결합 진동 현상이 발생됨
     - N개의 고유 모드 형상 
        . 각각의 고유 주파수에 대응되는 각각의 모드 형상 있음

  ㅇ 이러한 계의 운동은, 고유 모드들의 조합에 의해 구성되고 설명되어짐
     - 즉, 모드 형상(Mode Shape)이라는 특성을 갖음 
         . 각각의 고유진동수에 대응하며 진동하는 변형 형상을 의미
     - 이는, 2 이상의 질량 또는 자유도 사이의 상대운동을 나타냄
     - 사실상, 고유값 문제(고유값,고유벡터)라는 수학적 개념과 관련됨


5. 다 자유도 계의 해법

  ㅇ 선형 시스템인 경우
     - 정규모드
     - 라플라스변환
     - 상태공간

  ㅇ 비 선형 시스템인 경우
     - 느슨한 비선형 해석
     - 수치해법