Time Constant   시정수, 시상수, 시간 상수, 시간 정수

1. 이완, 이완 시간, 시정수 이란?

  ㅇ 이완, 완화 (Relaxation)
     - 물리적 외력이 제거된 후에 변이(변형)로부터 지수적으로 정상상태로 접근해가는 거동

  ㅇ 이완 시간, 완화 시간(Relaxation Time), 재배치 시간(Rearrangement Time)  [물리 용어]
     - 섭동 후 초기값의 e-1 ≒ 37%로 감소(또는 최종값의 67%까지 증가)하기까지 걸린 시간

  ㅇ 시정수 (Time Contant)  [전기전자/기계 제어 용어]
     - 1차 시스템(1차 회로)에서 과도응답 특성을 나타내는 주요 특성 변수

  ※ (역할)
     - 초기 과도상태가 사라지며, 새 환경에 적응하는데 걸리는 시간을, 서로 비교하기 위한 척도


2. 이완 거동에 대한 수학적 표현 

  ㅇ 자연계 `1차 시스템 또는 1차 회로`에 대한 수학적 모델링 => 1계 선형 미분방정식  
       
[# \frac{\partial \rho}{t} + \frac{1}{\tau} \rho = 0 #]
  ㅇ 위 미분방정식을, 변수분리법에 의해 풀이하면,
       
[# \ln \rho = -\frac{t}{\tau} + \ln \rho_0 \\
          \rho = \rho_0 \; e^{-t/\tau} #]
  ㅇ 그 량(量,{#\rho#})이 초기량({#\rho_0#})에 대해 지수적으로 감소 또는 증가하는 지수 함수 형태를 갖음
     - 이때, 자연상수(e)의 지수항에 있는 시간 변수(t)를 나누는 상수({# \tau #})가,
     - 바로, 1차 시스템의 시간 과도응답 특성을 대표(결정)하는 시정수(time constant) 임
     - (과도응답 : 시간이 경과함에 따라 소멸하는 응답)


3. 1차 시스템에서, 시정수(Time Constant,{# \tau #}) 이란? 

  ㅇ 1차 시스템의 과도응답 특성을 나타냄
     - 시스템이 주어진 변화에 얼마나 빨리 응답할 수 있는가를 나타내는 파라미터
        . 얼마나 빨리 정상상태에 도달할 수 있는가를 가늠하는 척도
           .. 최종치의 63% 증가(또는 초기치의 37% 감소)하는데 걸리는 시간


4. 1차 시스템에서, 시정수({# \tau #}) 및 과도 현상 간의 관계
 
  ㅇ 과도 현상의 모양
       

  ㅇ 과도 현상의 출력식
     
     - Y∞ : 정상상태 값, Yo+ : 초기상태 값, τ : 시정수

  ㅇ 과도 현상의 동작 상의 특징
     - 시정수에 전적으로 의존
        . 1차 시스템 과도응답 특성은, 전적으로 시정수에 의존함
     - 지수적 거동
        . 시간에 대해 e-αt의 관계로 진폭이 감쇠 또는 증가하며 변동
        . 감쇠율    :  지수부분의 α
        . 시정수 τ :  이의 역수 1/α
     - t = 0 에서 기울기 = 시정수의 역수 (1/τ)
     - 과도현상의 지속시간 : 시정수 τ에 의해 영향받아 결정됨
     - 시정수의 값         : 통상, 교류 결합 소자에 대해 3 dB Roll-off 점


5. 1차 시스템에서, 시정수 및 타 파라미터와의 관계

  ㅇ RC 회로  :  정전용량(C) 및 저항(R)으로 구성된 회로 
     -  시정수 τ = RC

  ㅇ RL 회로  :  인덕턴스(L) 및 저항(R)으로 구성된 회로
     -  시정수 τ =  L/R

  ㅇ 시정수 - 대역폭 (차단주파수) 관계
     -  3 dB 대역폭      : BW = 1/(시정수) = 1 / τ
     -  고역 차단 주파수 : fc ≒ 0.159/(시정수) = 0.159 / τ

  ㅇ 시정수 및 상승시간,정착시간 관계
     - 상승시간 ≒ 시정수의 약 2.2배 = 2.2 τ
     - 정착시간 ≒ 시정수의 약 4배 = 4 τ


6. 2차 시스템에서, 시정수는?

  ㅇ 2차 시스템 특성은, 시정수에 별로 의존 않고, 
     - 상승시간(즉응성/속응성 등), 정착시간(정상상태오차 등), 오버슈트 등이 더 중요함

  ※ 결국, 1차 시스템에서 만 시정수가 중요함