1. [수학] 부분 군 (Subgroup)
ㅇ 군 G의 부분집합으로 군 G와 같은 연산 구조를 갖는 군
- 집합에 부분 집합, 선형 공간에 부분 공간이 있듯이, 군에도 부분 군이 있음
ㅇ 부분군의 표기
- H를 군 G의 부분군이라하면, 이를 `H ≤ G`로 표기함
ㅇ 닫힘성
- 연산에 대해 닫혀있음 (집합 내 속한 모든 원소 쌍을 연산한 결과가 다시 그 집합 내 있음)
- 역원에 대해 닫혀있음 (모든 원소의 역원이 다시 그 집합 내 있음)
ㅇ 자기자신 및 항등원
- 벡터공간에서, 모든 부분공간이, 자기자신 및 영공간을 부분공간으로 갖듯이,
- 모든 군도, 자기자신 및 항등원을 부분군으로 갖음
ㅇ 부분군의 例)
- 덧셈에 대해, 정수 군은 유리수 군의 부분군이고, 유리수 군은 실수 군의 부분군 임
. 즉, (Z,+) ≤ (Q,+) ≤ (R,+)
2. [수학] 부분 군의 구분
※ 집합의 부분집합에 진부분집합(Proper Subset),비진부분집합(Improper Subset)으로 구분되듯이
- 자기자신을 원소로 포함하느냐에 따라, 진부분군,비진부분군으로 구분됨
ㅇ 자명 부분 군 (Improper Subgroup, Trivial Subgroup)
- 자기 자신 G와 항등원 {e}
ㅇ 진 부분 군 (Proper Subgroup) (자기자신제외)
- 자명한 부분 군이 아닌 부분 군을 이룰 때
※ 모든 군은, {e}와 G 자신을, 부분군으로 갖음
- 부분군 {e}는, 자명 부분군(trivial)이고,
{e}와 다른 모든 부분군은, 비 자명 부분군(nontrivial)임
- 부분군 G 자신은, 비 진 부분군(improper subgroup)이고,
G와 다른 모든 부분군은, 진 부분군(proper subgroup)임
ㅇ 정규 부분군 (Normal Subgroup)
- 군 G의 부분군 H 내 모든 원소가 a H = H a 를 만족
3. [수학] 라그랑주 정리
ㅇ G를 유한군, H를 G의 부분군이라할 때, G의 위수는 H의 위수의 배수 임
- 즉, 유한군 내 부분군의 위수(m)는 유한군의 위수(n)의 약수(m|n)가 됨
.. (n이 m으로 나누어떨어짐)