1. 가환군 (Communtative Group) 또는 아벨군 (Abelian Group)
ㅇ 아래의 `군(Group)에 관한 4가지 공리`에다가,
- ① 연산 * 에 대해 닫혀있음 (closure)
- ② 연산 * 에 대해 결합법칙 성립 (associativity)
- ③ 연산 * 에 대해 항등원이 존재 (identity element)
- ④ 연산 * 에 대해 각 원소의 역원이 존재 (inverse element)
ㅇ 추가적으로, 교환법칙(commutative property)까지도 만족하면,
- ⑤ 즉, a * b = b * a (a,b ∈ G) (commutativity)
ㅇ 위같은 군을 가환군(아벨군)이라고 함
※ 아벨 (Niels Henrik Abel, 1802~1829) : 노르웨이 수학자
2. 가환군 例)
ㅇ 例) 이진부호 G = {0,1}는 모듈러-2 덧셈(modulo 2 addition)에 대해 가환군 임
- 모듈러-2 덧셈 : 0 ⊕ 0 = 0, 0 ⊕ 1 = 1, 1 ⊕ 0 = 1, 1 ⊕ 1 = 1
. ① 이항연산 ⊕은 집합 G 안에서 닫혀있음
. ② 결합법칙 성립 (例) 0 ⊕ ( 1 ⊕ 0 ) = ( 0 ⊕ 1 ) ⊕ 0
. ③ 항등원 0 존재
. ④ 각 원소의 역원이 존재 (0의 역원은 그 자신인 0, 1의 역원은 그 자신인 1)
. ⑤ 교환법칙 성립 (例) 0 ⊕ 1 = 1 ⊕ 0 = 1
ㅇ 例) 덧셈 연산이 정의된 잉여류 집합 : G = < Zn, + >
- 만일, Z5일 때,
. 닫힘성 성립, 결합 법칙 만족 : 4+(3+2) = (4+3)+2, 항등원 존재 : 0,
. 모든 원소가 덧셈 역원 갖음 : 3의 역원은 -3, 교환 법칙 성립 : 3+4 = 4+3
ㅇ 例) 덧셈에 대한 수 집합 중 가환군인 것 : 정수, 유리수, 실수 등
- 덧셈에 대해 : 결합법칙 성립, 항등원은 0, 원소 a에 대한 역원은 -a, 교환법칙 성립
ㅇ 例) 곱셈에 대해,
- 정수는 비 가환군 이고,
. 결합법칙,교환법칙이 성립하고, 항등원 1이 존재하나, 역원이 없음
- `0`을 제외한 모든 유리수 ( Q* = Q - {0} )는 가환군 임