Integrator, Integration Circuit   적분기, 적분 회로, 적분 연산

1. 적분기 (Integrator), 적분회로 (Integration Circuit)

  ㅇ 신호에 대한 적분 연산을 전기 회로에 의해 수행
     - 입력 신호 파형의 시간 적분에 비례하여 출력을 발생


2. 적분기의 해석 및 특징

  ㅇ 회로 관점에서,  =>  커패시터 양단에서 출력 전압을 얻는 `직렬 RC 회로`
     - 커패시터 충전과 방전의 속도는, 시정수(τ = RC)에 의해 결정됨
        . 커패시터 양단의 전압은 순간적으로 변화될 수 없고,
        . 지수함수적으로 서서히 변화되는 물리적 제약이 적분 동작의 근원임

        

        . 왼쪽그림 (단순 RC 회로 적분기)
        . 오른쪽그림 (연산증폭기를 이용한 RC 반전증폭기)

  ㅇ 방정식 관점에서,  =>  회로 미분방정식 (1계 선형 미분방정식)
      
[# RC \frac{dv_i(t)}{dt} + v_i(t) = v_o(t) \\
         v_o(t) = -\frac{1}{RC} \int^t_0 v_i(\tau)d\tau + v_o(0) #]

  ㅇ 잡음 관점에서,  =>  가우시안 잡음에 대해 평균(적분)을 취하면, `0`(잡음 소멸)이 됨

  ㅇ 주파수응답 관점에서,  =>  저역통과필터(LPF) 회로
     - 주파수에 역 비례  :  H(jω) = 1/jω
        . 주파수가 낮을수록(ω → 0), 이득이 커져, 저주파 성분을 강조하고, 고주파 성분은 감쇠시킴
           .. 전형적인 LPF 거동을 보임
        . 보드 선도 상 기울기는, −20 dB/decade
           .. 이때 위상은 모든 주파수에서 일정하게 −90° 지연됨

  ㅇ 실제 적분기 회로 유의사항
     - ω → 0 (직류)에서, 이득이 발산(무한대)이므로,
     - 입력에 미세한 DC 오프셋만 있어도, 출력이 시간에 따라 계속 누적되어, 결국 전원 전압까지 포화됨
     - 실제 적분기 회로는, 이를 막기 위해 귀환 커패시터에 병렬로 저항를 추가하여, 
        . 저주파 대역에서 이득을 유한한 값으로 제한하는 설계를 사용함


3. 적분기의 구현

  ㅇ 아날로그 적분기  
     - 구성  :  연산 증폭기(Op-amp), 저항,커패시터(RC 회로) 으로 구현
     - 동작  :  커패시터의 전하 축적을 이용한 연속시간 적분
     - 근사식  :  연속시간 미분방정식 그대로 성립
     - 오차  :  Op-amp 입력 오프셋 전압, 커패시터 누설전류, 온도 드리프트 등
     
  ㅇ 디지털 적분기
     - 구성  :  누산기(각 샘플 값을 계속 더해 누적하는 방식) 등으로 구현
     - 동작  :  매 샘플 값을 계속 더해 누적하는 이산시간 근사 적분
     - 근사식  :  {#y[n]=y[n-1]+Tx[n]#}
     - 오차  :  양자화 오차, 샘플링 주기 T에 따른 근사 오차, 누적 오버플로 등


4. 적분기의 응용

  ㅇ 신호의 평균값 계산  :  시간에 따라 입력 신호를 적분하고, 일정한 시간 동안의 평균을 계산
  ㅇ 저주파 노이즈 제거  :  평균값 0인 가우시안 잡음을 적분하면, 출력에서 잡음이 소멸되는 효과
  ㅇ 속도 - 위치 변환  :  속도 신호를 적분하여 위치 신호 생성 등