State Transition Matrix   상태 천이 행렬

1. 상태 천이 행렬 (State Transition Matrix)

  ㅇ 상태 천이 행렬은, 상태 방정식에서,
     - 시간 변화에 따른 상태의 변화를 나타내는 행렬으로써, 다음과 같이 구해짐


2. 상태 천이 행렬,상태 천이 방정식의 유도

  ㅇ 다음의 상태 방정식에서,
         
[# \dot{\mathbf{x}} = \frac{d\mathbf{x}(t)}{dt} = \mathbf{A} \mathbf{x}(t) + \mathbf{B} \mathbf{u}(t) #]
  ㅇ 입력을 0 으로 하면, 선형 제차 미분방정식이 되고,
         
[# \frac{d\mathbf{x}(t)}{dt} - \mathbf{A} \mathbf{x}(t) = 0 #]
  ㅇ 이의 해를 구하고자, 라플라스 변환 하면,
         
[# s\mathbf{X}(s) - x(0) - \mathbf{A} \mathbf{X}(s) = 0 \\
            s\mathbf{X}(s) - \mathbf{A} \mathbf{X}(s) = \mathbf{x}(0) \\
            (s\mathbf{I} - \mathbf{A})\mathbf{X} = \mathbf{x}(0) \\
            \mathbf{X}(s) = (s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1} \mathbf{x}(0) #]
  ㅇ 이를 역 라플라스 변환 하면,
         
[# \mathbf{x}(t) = \mathcal{L}^{-1} [(s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1}] \mathbf{x}(0)  #]
     - 이 식은 선형 동차 미분방정식의 해로써, 상태 천이 방정식 이라고 함

  ㅇ 이로부터, 상태 천이 행렬을 다음과 같이 정의 함
         
[# Φ(t) = \mathcal{L}^{-1} [(s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1}] \\
            \mathbf{x}(t) = Φ(t) \mathbf{x}(0) #]
 
  ㅇ 또한, 
         
[# (s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1} = \frac{\mathbf{I}}{s} + \frac{\mathbf{A}}{s^2} + 
                                              \frac{\mathbf{A^2}}{s^3} + \cdots \\
    Φ(t) = \mathcal{L}^{-1} [(s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1}] = \mathbf{I} + \mathbf{A}t + 
            \frac{\mathbf{A}^2t^2}{2!} + \frac{\mathbf{A}^3t^3}{3!} + \cdots = e^{\mathbf{A}t} #]
  ㅇ 따라서, 초기 상태 조건이, 영입력 x(0)=0 일 때의 과도응답 (영입력응답)은,
         
[# \mathbf{x}(t) = Φ(t) \mathbf{x}(0) 
                         = \mathcal{L}^{-1} [(s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1}] \mathbf{x}(0) 
                         = e^{\mathbf{A}t} \mathbf{x}(0) #]
 


3. 상태 천이 행렬의 성질