Auto-correlation   자기 상관

1. 자기 상관 함수 (Auto-correlation Function) 

  ㅇ 어떤 신호의 시간이동된 자기자신과의 `상관성(Correlation)` 척도

  ㅇ 주요 특징
     - 결정 신호이든(주기 신호,비주기 신호이든) 랜덤 신호이든, 모든 신호에 대해 적용 가능
     - 특히, 랜덤 과정인 경우에, 
        . 자기상관함수를 이용하여 굳이 시간신호에 대한 푸리에변환을 구할 필요 없이,
        . 주파수상에 분포된 전력(전력밀도스펙트럼)을 취급할 수 있으므로 이를 사용하게됨

  ※ [참고]
     - 서로다른 신호간의 상관성 척도에 대해서는,  ☞ 상호상관 참조
     - 상관에 대한 보다 정확한 이해를 위해서는,   ☞ 상관성 참조 
     - 상관성 개념의 종합화/일반화는,  ☞ 비교(같음/닮음/다름) 참조


2. 확정적 신호 (Deterministic signal)에서, 자기상관 함수

  ㅇ 에너지신호의 자기상관함수 : 컨볼루션(*)에 의해 정의됨
     - x(t)가 실수 신호이면,   {# R_x(τ) = \int^{\infty}_{-\infty} x(t)x(t+τ)dt = x(τ)*x(-τ) #}
     - x(t)가 복소수 신호이면,   {# R_x(τ) = \int^{\infty}_{-\infty} x(t)x^*(t+τ)dt = x(τ)*x^*(-τ)#}

  ㅇ 전력신호의 자기상관함수   : 시간평균(<>)에 의해 정의됨
     - 실수 신호 : {# R_x(τ) = < x(t)x(t+τ) > = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}} x(t)x(t+τ) dt #}
     - 복소수 신호 : {# R_x(τ) = < x(t)x^{*}(t+τ) > = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}} x(t)x^{*}(t+τ) dt #}


3. 랜덤 과정 (Random Process)에서, 자기상관 함수

  ㅇ 정의
     - 통계적평균에 의한 자기상관함수 정의
        
[# R_X(t_1,t_2) = E[X(t_1)X(t_2)] #]
     - 결합 PDF(결합 확률밀도함수)에 의한 자기상관함수 정의
        
[# R_X(t_1,t_2) = \int^{\infty}_{-\infty} \int^{\infty}_{-\infty} x_1x_2 \, f_{X_1X_2} (x_1,t_1;x_2,t_2) \; dx_1dx_2 #]

  ㅇ 만일, 랜덤과정이 광의의 정상과정이면, 
     - 시간 t의 함수가 아니라 시간천이 t1-t2=τ의 함수가 됨
        
[# R_X(t_1,t_2) = R_X(t,t+τ) = R_X(τ) = E[X(t)X(t+τ)] #]

     - 이때, 시간영역 자기상관과 주파수영역 스펙트럼밀도 간에 푸리에 변환 쌍 관계가 있음
        . R(τ) <-- (푸리에변환 쌍 관계) --> S(f)

  ㅇ 만일, 랜덤과정이 에르고딕과정이면, 
     - `통계적평균` 및 `시간평균`이 상호 호환이 가능함
       

     - 따라서, 이 경우에는 R(τ)는 시간평균이나 통계적평균 어느 것으로도 구할 수 있음


4. 자기상관 함수의 성질/특징

  ㅇ 신호의 `시변(time-variant)` 특성이 어떤가를 보여줌
     -  그 신호가 갖는 스펙트럼 특성 정보를 나타냄
            

  ㅇ 시간적인(시변) 상관성 척도 임
     - `분산`이, 확률변수가 통계적으로 불규칙하게 분포되는 정도를 나타내는 척도이라면,
     - `자기상관`은, `분산`과 유사하게,
        확률과정이 시간적으로 상관 또는 분산되는 정도의 척도를 나타냄

  ㅇ 직관적으로, 자기자신과의 시간천이(τ)가 작을수록 상관성이 커짐
     - 따라서, τ = 0 에서 최대 상관성 값을 갖음
        
[# |R_x(τ)| \leq R_x(0) #]

     - τ = 0 일 때, 물리적 의미로는,
        .  에너지신호   : τ= 0에서의 최대값이 전체 신호에너지와 같음 
        .  전력신호     : τ= 0에서의 최대값이 평균전력과 같음 
        .  WSS 랜덤과정 : τ= 0에서의 최대값이 평균전력과 같음 

  ㅇ 시간영역 자기상관과 주파수영역 스펙트럼밀도 간에 푸리에 변환 쌍 관계가 있음
     -  자기상관 <-- (푸리에변환 쌍 관계) --> 스펙트럼밀도  ☞ 위너킨친정리 참조
        
        . 여기서, 자기상관함수의 푸리에변환은 항상 존재함

  ㅇ 실수값 신호이면 τ= 0에 대해 우대칭성
     - {# R(τ) = R(-τ) #}

  ㅇ x(t)가 주기적이면, R(τ)도 같은 주기를 갖음
     - {# x(t) = x(t+mT), \; R(τ) = R(τ+mT) #}