Lagrangian, Hamiltonian   라그랑지안, 해밀토니안

(2020-08-12)

라그랑주 방정식, 라그랑지 방정식

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  2. 일반화 좌표
  3. 달랑베르 원리
  4. 운동방정식

1. 라그랑지안 (Lagrangian)

  ㅇ 라그랑지안 또는 라그랑지안 함수 (Lagrangian)
     - 물리계의 동역학적인 성질을 함수로서 나타내는 물리량
     - 이 함수의 정의는, `운동에너지(T)와 위치에너지(V) 간의 차이` 임 : 
[# L = T - V #]
- 이 함수독립변수는, 위치,속도,시간함수 임 :
[# L = L(q, \dot{q}, t) #]
. {#q#} : 일반화 좌표, {#\dot{q}#} : 일반화 속도, {#t#} : 시간 ㅇ 작용,작용량 (Action) ☞ 범함수 참조 - 무한히 많은 운동 경로를 갖을 수 있는 라그랑지안 L을 적분한 것
[# J = \int^{t_2}_{t_1} L dt #]
※ Joseph-Louis Lagrange (1736 ~ 1813) : 프랑스의 수학자이자 천문학자 - 1744년 발표 2. 라그랑주 방정식 ㅇ 작용(Action) J을 최소화할 때의 운동방정식 - 해밀턴 원리와 변분법을 써서 얻어지는(유도되는) 운동방정식 - 라그랑지안(에너지 관계)을 구하고, 이를 라그랑주 방정식(위치,속도시간 변화)에 대입하여, 풀어냄으로써, 뉴튼 역학 처럼 운동궤적을 얻을 수 있음 ㅇ 1 차원 라그랑주 방정식
[# \frac{d}{dt} \left( \frac{∂L}{∂\overset{·}{q}} \right) - \frac{∂L}{∂q} = 0 #]
- 라그랑지안 : {# L = L(q, \dot{q}, t) #} ㅇ n 차원 라그랑주 방정식 - n개 좌표 q1,q2,...,qn에 의한 표현 (n개의 자유도를 갖는 계)
[# \frac{d}{dt} \left( \frac{∂L}{∂\overset{·}{q}} \right) - \frac{∂L}{∂q_i} = 0 \qquad (i=1,2,\cdots,n) #]
- 라그랑지안 :
[# L = L(q_1,q_2,\cdots,q_n \,;\, \dot{q_1},\dot{q_2},\cdots,\dot{q_n} \,;\, t) #]
. {#q#} : 일반화 좌표, {#\dot{q}#} : 일반화 속도, {#i#} : 자유도 ㅇ (명칭) 라그랑주 방정식 = 라그랑지안 운동방정식 = 오일러 라그랑주 방정식 ㅇ 라그랑주 역학 - 뉴턴 역학좌표계에 의존하나, 라그랑주 역학좌표계에 의존 안함 - 구속조건 및 보존량을 다루기 쉬움 - 뉴턴 역학으로는 표현하기 어려운 문제도 표현 가능 (例, 양자역학 등) 3. 해밀토니안 (Hamiltonian) ㅇ 해밀토니안 함수 - 물리계의 동역학적인 성질을 나타내는 함수로서의 물리량 . 운동량,위치,시간함수 : . 계(系)의 에너지운동량 좌표 p 와 공간 좌표 q 로 표현한 것 - 1차원 해밀토니안 : - n차원 해밀토니안 : . : 일반화 운동량, q : 일반화 좌표 4. 해밀턴 원리 (Hamilton's principle) ※ 유사용어 - 수학적으로, 변분 원리(Variational principle), - 광학적으로, 최소작용의 원리(Principle of Least Action) 라고도 함 ㅇ 동역학 계에서, 운동궤적은 작용량(Action)을 최소화 하도록 취해짐 - 주어진 시간 동안 역학계를 하나의 배위로부터 다른 배위로 가져가는 모든 가능한 운동 중에, . 배위 : 위치 관계 - 실제로 취하는 경로는 그 계의 라그랑지안의 시간 적분(작용,Action)을 최소로 하는 경로가 됨 * 즉, 움직이는 입자는, 시간 t 동안, . 라그랑지안(운동에너지 T와 위치에너지 V와의 차이)의 적분인 ∫t (T - V) dt 를 . 최소화하는 경로를 따라감 ※ Hamilton, William Rowan (1805~1865) : 영국의 수학자, 이론 물리학자, 천문학자. 더블린 출생 - 1834년 발표


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