1. 합동 (合同, Congruence)
ㅇ 동등,같음 등을 의미하는 광의의 수학 용어
- 합동은 `같다` 이상의 광의의 개념으로써, 동일한 크기 및 모양/형태를 갖음을 나타냄
. 기호로는 `≡` 또는 `
`
. 등식 기호 `=`의 일반화로 봄
ㅇ [기하학]
- 합동(Congruence) : 크기와 모양이 같으나 위치 만 다름 ( ≡ 또는 )
. 적당히 이동(등거리 변환)시켜 포개면 정확하게 겹쳐짐
- 닮음(Similarity) : 같은 모양을 갖지만, 크기가 다름 ( ~ )
. 서로 대응하는 두 변의 비율이 일정하고, 대응하는 각은 모두 같음
ㅇ [대수학/정수론]
- 두 정수 a,b 에 대해, 그들의 차가 0 이면, a,b 는 같다 이라고 함
- 두 정수 a,b 에 대해, 그들의 차가 m 의 배수이면, a,b 는 합동 이라고 함
* 이는 사실상, 정수가,
. 일정한 수로 나눈 `나머지`에 만 의존하며,
. 이들을 통해 동등함을 일반화시켜 말하려는 것임
2. [정수론] 합동식
※ 19세기초 가우스(Karl Friedrich Gauss,1777~1855)가 최초로 도입한 기호(≡) 및 개념
ㅇ 합동식 표기 : a ≡ b (mod m)
- 각 항들은 다음과 같이 주어짐
. a,b ∈ Z, m ∈ N
. a - b 가 m 의 배수, 즉 n | (a - b)
- 위 합동식의 다양한 표현들
. `a는 법 m으로 b와 합동 (a is congruent to b modulo m)`
. `a,b는 법(法,Modulus) m에 대해 합동`
. `임의의 정수 b는 {0,1,2,...,m-1} 중의 어느 한 정수와 법 m에 대해 합동`
. `합동 모듈러 m (법 m에 관한 합동) (Congruent Modulo m)`
- 위 합동식의 의미상 동치/동등인 진술들
. 정수 a,b의 차 (a-b)가 양의 정수 m 으로 나누어 떨어짐
.. 즉, m | (a-b) (☞ 약수 참조)
. 정수 쌍 a,p 또는 a,q는 양의 정수(자연수) m으로 나누었을 때, 같은 나머지 r를 갖음
.. 즉, a = p m + r, a = q m + r (0≤r＜m)
ㅇ 例
- 例 1) 3 ≡ 24 (mod 7) : 정수 3,24의 차가 7로 나누어 떨어짐
- 例 2) 42 ≠ 5 (mod 8) : 정수 42,5의 차가 8로 나누어 떨어지지 않음
- 例 3) 손목시계,표준시계가 나타내는 시간은 모듈로 12시간으로하여 합동
- 例 4) 13 ≡ 25 (mod 12) : 13과 25는 12로 나누면 모두 나머지가 1이므로, 12에 대해 합동
3. [정수론] 합동의 성질
ㅇ a ≡ a (mod n)
ㅇ a ≡ b (mod n) 이면, b ≡ a (mod n)
ㅇ a ≡ b (mod n) 이고 b ≡ c (mod n) 이면, a ≡ c (mod n)
ㅇ a + c ≡ b + c (mod n)
ㅇ a c ≡ b c (mod n)
- 단, 위 식이 성립한다고 해서, a ≡ b (mod n)도 성립하는 것은 아님
. 例) 15·2 ≡ 20·2 (mod 10) (O), 15 ≢ 20 (mod 10) (X)
ㅇ a ≡ b (mod n), c ≡ d (mod n) 일 때,
- a + c ≡ b + d (mod n)
- a c ≡ b d (mod n)
ㅇ ak ≡ bk (mod n) (k는 임의 자연수)
4. [정수론] 합동 관련 용어
ㅇ 합동식 (Congruence Expression) ☞ 모듈러 연산식 참조
- 합동을 나타내는 기호 ≡가 들어있는 식
ㅇ 합동 방정식 (Congruence Equation)
- 합동식에 미지수 x가 들어있는 방정식
. 例) x2 + 2x -1 ≡ 0 (mod n)
* 통상의 방정식과 유사하게 취급됨
ㅇ 합동류 (Congruence class)
- a가 주어지고 그때의 b의 모든 집합 ☞ 잉여류
ㅇ 합동의 유용성
- 수의 나누어떨어짐(Divisibility)을 쉽게 나타냄
- 합동에 의해, 마치 방정식 이론과 유사하게 합동 방정식 이론 전개가 가능해짐