1. 다항식 환 (Polynomial Ring)
ㅇ 실수,복소수를 계수로 하고 미지수(변수)가 하나인 다항식에 대한, 추상대수학적 관점
2. 다항식 환의 구성
ㅇ 주어진 환 R의 원소들로 계수를 갖고,
- 미지수(변수) x와 결합되어 나온(나타낼 수 있는)
- 모든 가능한 다항식의 집합 => R[x]
ㅇ 이때, 다항식 각 항끼리의 합,곱이 다시 그 집합 위에 성립되며, 더 큰 환을 형성함
- 즉, 통상적인 다항식 간 합,곱 결과로써 나타난 다항식들의 집합도 환을 형성함
ㅇ 다항식환 R[x]에서, 환 R은 R[x]의 부분환(Subring) 임
3. 다항식 환의 표현
ㅇ 표기 : R[x]
[# R[x] = \{ \; f(x) \; | \; f(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_{n-1}x^{n-1}+a_nx^n,
\;a_i \in R, \;n\leq0 \; \} #]
- 여기서, f(x)는, 그 계수가 환 R의 원소인 다항식 임
ㅇ 부정원 x
- 사실상, 부정원(indeterminate,미지수) x는,
. 굳이, 환 R의 원소에 속하지 않을 수 있고,
. 더욱이, 변수의 역할 이라기 보다는,
. 주로, 환 R의 원소들 즉 계수 a,...,a들을 분리시키고 그 위치를 나타내기 위함
ㅇ 계수 a,...,a
- 환 R 에 속하는 원소
. 한편, 같은 원소가 중복되어 다항식을 나타내어도 가능
- a : 상수항(constant term)
- a : 선두계수(leading coefficient) 또는 최고차계수
ㅇ a의 첨자(index) 및 xi의 지수(指數)
- i = 0,1,...,n (유한 정수 이어야 함)
ㅇ 차수(degree)
- x의 최고차 지수/승수/멱(Power)
- 차수의 표기 : deg [f(x)]
. 例) 상수 다항식의 차수 : deg [f(x)=a] = 0
.. 환 R의 원소는 사실상 상수 다항식 임
. 例) 영 다항식의 차수 : deg [0] 은 정의되지 않음
- 한편, 차수가 무한대인 다항식은 멱급수이며 다항식이라고 하지 않음
4. 다항식 환의 例
ㅇ ℤ[x] : 정수를 계수로 하고 부정원 x에 대한 다항식 환
- ℤ[x] : 정수 0,1를 계수로 하고 부정원 x에 대한 다항식 환
. 상수 다항식 例 : 0, 1
. 1차 다항식 例 : x, x + 1
. 2차 다항식 例 : x2, x2 + 1, x2 + x, x2 + x + 1
ㅇ ℚ[x] : 유리수를 계수로 하고 부정원 x에 대한 다항식 환
5. [참고사항]
ㅇ 모닉 다항식 (monic polynomial)
[# f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_{n-1}x^{n-1} + x^n \; \in \; Z[x] #]
- 최고차 항 {#a_nx^n#}의 계수 {#a_n#}가, 1(unity) 인 다항식
ㅇ 원시 다항식 (primitive polynomial)
[# f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_{n-1}x^{n-1} + a_nx^n \; \in \; Z[x] #]
- 계수 a0,...,an의 최대공약수가 1일 때의 다항식
* 여기서 원시(primitive)라는 용어는, 다항식이 인수(factor)가 없다는 것을 의미
. 즉, 약분 불가능한 다항식(기약 다항식)을 말함
ㅇ 최소 다항식 (minimal polynomial)
- 어떤 수를 근으로 가지면서, 차수가 가장 작고, 최고차항의 계수가 1인 다항식
ㅇ 약분(인수분해) 가능 여부에 따른 구분
* 기약 (irreducible), 가약 (reducible)
. 기약 : 더 이상 약분(분해)할 수 없음
. 가약 : 그 이상 약분(분해) 가능
- 기약 다항식 (irreducible polynomial)
. 더 이상 인수분해되지 않는 다항식 (두 다항식의 곱으로 표현 못함)
.. 집합 내 그 어떤 다항식도 이 다항식을 나눌 수 없는 `소수 다항식` 처럼 행동
.. 소수 다항식 (prime polynomial) : 이 보다 작은 차수 다항식으로 인수분해 못함
. 例) 모든 일차 다항식은 모두 기약 다항식 임
- 가약 다항식 (reducible polynomial)
. 그 이상 인수분해될 수 있는 다항식
ㅇ 원분 다항식 (cyclotomic polynomial)
- 최고차항의 계수가 1인 정수 계수 만을 갖는 기약 다항식 중 차수가 최소인 다항식
- 例) {# Φ_3 = x^2 + x + 1 #}
ㅇ 두 다항식 간 곱의 특징
- 일반적으로, 두 다항식 간 곱은 역원을 갖지 않음
- 두 다항식 간에 곱의 결과 표현식에서, 계수들은 콘볼루션 합(Convolution Summation) 형태가 됨