Vector Projection, Scalar Projection   벡터 투영, 스칼라 투영

1. 투영 (Projection : 투영,投影, 사영,寫影) 이란?

  ㅇ 3차원 입체에서 2차원 평면, 2차원 평면에서 1차원 직선, 직선에서 다른 직선 등으로,
     - 주로, 차원을 단순화시키며, 도형을 변환시키는 것을 의미함

  ※ 한편,
     - 투영은, 임의 방향성을 갖지만,
        . 例) 햇빛이 비스듬히 비칠 때 지면에 생기는 그림자
     - 정사영은, 투영이, 특정 방향(수직)으로 만 제한되는 특수한 경우임
        . 例) 태양이 머리 바로 위에 있을 때 지면에 생기는 그림자


2. [수학]  스칼라 및 벡터 투영

    

  ㅇ 스칼라 투영 (Scalar Projection)  :  c
        
[# c = \mathbf{x} \cdot \mathbf{u}_y
             = \frac{\mathbf{x} \cdot \mathbf{u}_y}{\mathbf{u}_y \cdot \mathbf{u}_y} #]
        또는, 
        
[# c = \Vert\mathbf{x}\Vert \Vert\mathbf{u}_y\Vert \cosθ = \Vert\mathbf{x}\Vert \cosθ 
           = \frac{\Vert \mathbf{x} \Vert \Vert \mathbf{y} \Vert \cosθ}{\Vert \mathbf{y} \Vert}
           = \frac{\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}}{\mathbf{y} \cdot \mathbf{y}} #]

     - 例) {#\mathbf{A}=6\mathbf{i}+5\mathbf{j}-2\mathbf{k}#} 의 {#\mathbf{B}=2\mathbf{i}-\mathbf{j}+2\mathbf{k}#} 방향으로, 투영되는 성분 크기는?
           .. {#\mathbf{A}\cdot#}({#\mathbf{B}#}의 단위 벡터) {#=\mathbf{A}\cdot\mathbf{i_B}
                =(6\mathbf{i}+5\mathbf{j}-2\mathbf{k})\cdot(2\mathbf{i}-\mathbf{j}+2\mathbf{k})/3
                =(12-5-4)/3=1#}

  ㅇ 벡터 투영 (Vector Projection)  :  {#c\mathbf{u}_y#}
        
[# c\mathbf{u}_y 
               = \frac{\mathbf{x}\cdot\mathbf{u}_y}{\mathbf{u}_y\cdot\mathbf{u}_y}\mathbf{u}_y #]


3. [수학]  정사영 벡터 (Orthogonal Projection Vector)

     

  ㅇ `정사영 벡터` (projection of g onto y)  :  {#\text{proj}_{\mathbf{y}}\mathbf{g}, \quad \mathbf{u}_y#}
     - 한 벡터가 다른 벡터 위로의 정사영
        . y와 같은 방향을 가지며, 크기가 조정된 형태의 벡터
           
[# \text{proj}_{\mathbf{y}}\mathbf{x} 
               = \frac{\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}}{\mathbf{y} \cdot \mathbf{y}} \mathbf{y} 
               = c\mathbf{u}_y 
               = \frac{\mathbf{x}\cdot\mathbf{u}_y}{\mathbf{u}_y\cdot\mathbf{u}_y}\mathbf{u}_y#]

     - 한 벡터가 어떤 평면 위로의 정사영
        . 법선 벡터 n로 정의된 어떤 평면에 대해 정사영하는 벡터
           
[#\text{proj}_{\mathbf{n}}\mathbf{g} =
                 \frac{\mathbf{g}\cdot\mathbf{n}}{\mathbf{n}\cdot\mathbf{n}}\mathbf{n}#]

  ※ 벡터 근사 (Vector Approximation) = 직교 사영,정 사영 (Orthogonal Projection)
     - `근사`,`정 사영`은, 동등한 의미를 갖는다고 볼 수 있음  (★)
        . 한 대상(점,벡터)이 다른 대상(벡터,평면 등) 위로 정사영하면, 
        . 그 대상에서 가장 가까운 점,벡터가 만들어짐

  ㅇ 가장 가까운 거리 개념  :  `오류 벡터`  e
     - 정사영을 통해 벡터를 근사할 때 발생하는 오차
        . 원래 벡터와 그 벡터를 정사영한 벡터 간의 차이  :  e = g - projyg
      - (성질)
        . 수직성 (Orthogonality)
           .. e는 정사영된 부분공간 V에 대해 수직임
           .. 이는 projVa가 원래 벡터 a에 가장 가까운 점이 되도록 보장
        . 최소 거리 (minimum distance)
           .. 오류 벡터의 크기 |e|는 원래 벡터와 부분 공간 V 사이의 최소 거리를 나타내며,
           .. 이는 정사영의 정의에서 중요한 역할을 함

     - 한 벡터가 다른 벡터 위로의 정사영할 때의 오류 벡터
        
[# \mathbf{e} = \mathbf{g} - \text{proj}_y\mathbf{g} #]
     - 한 벡터가 어떤 평면 위로의 정사영할 때의 오류 벡터
        
[# \mathbf{e} = \text{proj}_{plane}\mathbf{g} 
                      = \mathbf{g} - \text{proj}_{\mathbf{n}}\mathbf{g}#]

  ※ 이는, 어떤 대상(벡터, 평면 등)과의 거리를 최소화하는 벡터를 찾는 과정이며, 
     - 기하학적 응용, 최적화 문제, 통신 등에 자주 사용됨

     - [참고]  ☞ 오류 패턴 ( Error Pattern) 참조
        . `송신 부호어 c`가 `오류 e`로 인해 `수신 부호어 r` 간에 발생한 비트 차이
           .. r = c + e