Discrete Probability Distribution   이산 확률분포

1. 이산 확률분포 종류별 요약

  ㅇ 이산 균등 분포

     * 각 값을 취할 확률 X가 각 시행 마다 모두 같은 확률분포

     - 확률변수 표시 :  X ~ DU(1,N)   (모수 N : 시행횟수)
     - 확률질량함수  :  
     - 기대값, 분산  :  E[X] = (N+1)/2 ,  Var[X] = (N2-1)/12


  ㅇ 베르누이 분포

     * 1번의 베르누이시행에서 성공횟수 X가 나타내는 확률분포

     - 확률변수 표시 :  X ~ B(1,p) = Bernoulli(p)   (모수 : p 성공확률)
     - 확률질량함수  : 
     - 기대값, 분산  :  E[X] = p ,  Var[X] = p(1-p)


  ㅇ 이항 분포

     * n번의 베르누이시행에서 성공횟수 X가 나타내는 확률분포

     - 확률변수 표시 :  X ~ B(n,p) = Bernoulli(p)   (모수 : n 시행횟수, p 성공확률)
     - 확률질량함수  : 
     - 기대값, 분산  :  E[X] = np ,  Var[X] = np(1-p)


  ㅇ 다항 분포

     * n번의 독립 시행에서 E1이 x1번,E2가 x2번,...,Ek가 xk번 일어나는 분포

     - 확률변수 표시 :  X ~ pi
     - 확률질량함수  : 


  ㅇ 초기하 분포 

     * k개 성공, N-k개 실패로 구성된 N개 모집단에서, n개 표본을 취할 때의 성공 확률분포
        . 비복원추출(Sampling without replacement)할 때 나타나는 분포

     - 확률변수 표시 :  X ~ HG(N,n,k)   (모수 : N 모집단 크기, n 표본수, k 성공수)
     - 확률질량함수  : 
     - 기대값, 분산  :  E[X] = nk/N ,  Var[X] = (N-n)/(N-1)


  ㅇ 음이항 분포 

     * 성공률 p를 갖는 베르누이시행에서 k번 성공할 때까지 시행횟수 x에 관한 확률분포

     - 확률변수 표시 :  X ~ NB(k,p)    (모수 : k 성공수, p 성공확률)
     - 확률질량함수  :  
     - 기대값, 분산  :  E[X] = k/p ,  Var[X] = k(1-p)/p2

     * [참고사항]
        . k가 정수일 때 : 파스칼 분포 라고 함
           .. 최초 시행으로부터 k번째의 성공이 이루어진 시행횟수의 분포
        . k가 1 일 때   : 기하분포가됨


  ㅇ 기하 분포

     * 어떤 관심있는 사건이 일어날 때까지의 발생횟수 x에 관한 이산확률분포

     - 확률변수 표시 :  X ~ G(p)    (모수 : p 성공확률)
     - 확률질량함수  :  
     - 기대값, 분산  :  E[X] = 1/p ,  Var[X] = (1-p)/p2


  ㅇ 포아송 분포
     * 한정된 특정 시간 또는 작은 공간 내에 발생하는 사건 수에 대한 분포

     - 확률변수 표시 : X ~ Poi(λ)
     - 기대값, 분산  :  E[X] = λ ,  Var[X] = λ


2. 여러 이산확률분포 비교 (베르누이 시행과 관련되는 경우)

  ㅇ 베르누이 분포 :  X ~ B(1,p)        (1번 만의 베르누이 시행의 성공 확률분포)

  ㅇ 이항 분포     :  X ~ B(n,p)        (n번 베르누이 시행의 성공 확률분포)

  ㅇ 기하 분포     :  X ~ Geo(p)        (처음 성공할 때까지의 베르누이 시행 횟수 분포)

  ㅇ 파스칼 분포   :  X ~ NB(x; k,p)    (k번째 성공할 때까지의 베르누이 시행 횟수 분포)