Vector Function Derivative   벡터 함수 미분, 벡터 함수 도함수, 벡터 미분

1. 벡터 함수의 미분 (또는 도함수)

  ㅇ 벡터함수 내 각 성분함수를 미분함으로써 얻어지는 벡터함수
       
[# \mathbf{r}(t) = f(t)\hat{\mathbf{i}} + g(t)\hat{\mathbf{j}} + h(t)\hat{\mathbf{k}}
                        =  \; < f(t),g(t),h(t) > \\
          \qquad x = f(t), y = g(t), z = h(t) \\ \; \\
          \frac{d\mathbf{r}(t)}{dt} = \mathbf{r}'(t) \\
          \qquad\; = \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\mathbf{r}(t+\Delta t)-\mathbf{r}(t)}{\Delta t} \\
          \qquad\; = \left( \frac{df(t)}{dt}\hat{\mathbf{i}} + f(t)\frac{d\mathbf{i}}{dt} \right)
                   + \left( \frac{dg(t)}{dt}\hat{\mathbf{j}} + g(t)\frac{d\mathbf{j}}{dt} \right)  
                + \left( \frac{dh(t)}{dt}\hat{\mathbf{k}} + h(t)\frac{d\mathbf{k}}{dt} \right) \\
          \qquad\; = \frac{df(t)}{dt}\hat{\mathbf{i}} + \frac{dg(t)}{dt}\hat{\mathbf{j}} +
                     \frac{dh(t)}{dt}\hat{\mathbf{k}} \\
          \qquad\; = < f'(t),g'(t),h'(t) > #]

  ㅇ 이렇게 얻어진 `벡터함수의 미분(도함수)`는, 
     - r(t)로 정의되는 곡선의 어떤 점에서의 `접선 벡터(Tangential Vector)`가 됨
     - 이를 `속도 벡터(Velocity Vector)` 라고도 함

  ㅇ 다변수 벡터함수의 미분을 행렬로 표기 : 야코비안/자코비안 행렬, 야코비 행렬 (Jacobian Matrix) 
       
[# F'(P) = \frac{∂F(f_1,\cdots,f_m)}{∂(x_1,\cdots,x_n)} (P) \\
      \qquad = \begin{bmatrix} 
         \dfrac{∂f_1}{∂x_1}(P) & \dfrac{∂f_2}{∂x_2}(P) & \cdots & \dfrac{∂f_1}{∂x_n}(P) \\ 
         \dfrac{∂f_2}{∂x_1}(P) & \dfrac{∂f_2}{∂x_2}(P) & \cdots & \dfrac{∂f_2}{∂x_n}(P) \\
         \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
         \dfrac{∂f_m}{∂x_1}(P) & \dfrac{∂f_m}{∂x_2}(P) & \cdots & \dfrac{∂f_m}{∂x_n}(P) 
      \end{bmatrix} #]
     - [참고] 야코비(Karl Jacobi, 1804–1851) : 독일의수학자


2. 벡터 미분의 물리적 의미 => 물체의 운동 표현

  ※ 공간,평면 영역에서 움직이는 물체의 운동(속도,가속도,회전 등) 표현
     - [직각좌표계 표현] ☞ 속도벡터,가속도벡터 참조
     - [극좌표계 표현]   ☞ 원운동 벡터 표현 참조

  ㅇ 회전하는 벡터함수의 시간 미분 및 그 성질(의미)

      

     - 벡터의 크기가 일정(dA/dt=0)하고 방향 만 변하면,
        . 원래 벡터의 수직인 벡터가 됨 즉, 


3. 벡터 함수의 미분 공식

  ㅇ 상수 벡터의 미분  :  
[# \frac{d}{dt} \mathbf{c} = \mathbf{0} #]
  ㅇ 벡터의 스칼라 곱셈의 미분  :  
[# \frac{d}{dt} [c\,\mathbf{r}(t)] = c\,\mathbf{r}'(t) #]
  ㅇ 스칼라함수,벡터함수 곱의 미분 : 

  ㅇ 벡터함수 합의 미분   : 

  ㅇ 벡터함수 내적의 미분 : 

  ㅇ 벡터함수 외적의 미분 : 

  ㅇ 벡터함수의 연쇄법칙 :