Sample Average   표본 평균

1. 표본 평균 (Sample Average)

  ㅇ 주요 표본 통계량(표본 평균,표본 분산,표본 비율 등) 중 하나

  ㅇ 표본 추출 때 마다 구해지는 표본 평균 : 
[# \overline{X} = \frac{1}{N} \sum^N_{i=1} X_i #]
     -  N : 표본 갯수 (표본 크기) (매 표본 추출 때 마다 취하는 표본의 수/크기)
     -  Xi : 표본 추출 때 마다 달라지는 확률변수
        . 그 각각이 동일한 확률분포를 갖는 상호독립적인 확률변수 임 (즉, iid)

  ㅇ [유사용어]
     - 표본 평균 : {# \overline{X} #}
     - 표본 평균들의 평균 (표본 평균의 표본 분포 상의 평균) : {# μ_{\overline{X}} #}
        . 또는, 표본 분포 상의 평균에 대한 기대값 : {# E({\overline{X}}) #}
        . 또는, 표본들의 평균에 대한 추정치 : {# \hat{\overline{X}} #}
     * 문맥 상 구분짓기가 분명하다면, 위 둘의 명칭을 자주 혼용하곤 함


2. 표본 평균의 활용

  ※ 표본 평균은, 모 평균을 추정,검정하는데 다음과 같은 바람직한 통계적 성질들을 갖음
     - 즉, 불편성, 일치성, 유효성 을 갖음

  ㅇ 따라서, 모 평균의 추정량,검정통계량에 표본 평균을 사용함


3. 표본 평균의 성질

  ㅇ 표본 평균이라는 표본 통계량은 확률변수 임 
     - 모집단으로부터 동일 크기로 취해지는 기회 표본은 무한히 많게되며,
     - 그때마다 표본 평균은 일정하지 않고, 
     - 매 표본 마다 무작위로 변하는 확률변수로 간주함

  ㅇ 표본 평균의 표본 분포는 모집단 분포 보다 변동성이 작아짐
     - 매 표본평균이 그 나름 중심위치를 나타내는 대표값들이기 때문임


4. 표본 평균의 확률적 특징

  ㅇ 통상, 표본평균이 나타내는 표본분포의 기대값은,
     - 모집단의 평균(모평균)에 근접하리라 짐작됨

  ㅇ 더욱이, 표본 크기가 커지면, 
     - 표본평균은 모집단의 평균(모평균)에 점점더 수렴함                 ☞ 대수의 법칙 참조

  ㅇ 결국, 모집단 확률분포가 정규분포를 따르지 않아도, 표본크기가 커지면, 
     - 표본분포는 빠르게 정규분포와 가까운 형태를 취함                  ☞ 중심극한의 정리 참조
        . 표본크기 n이 크면, 표본평균 X-의 확률분포는,
        . (모 평균 μ, 표본 분산 σ2/n, 표준 오차 σ/√n)인 정규분포에 가까워짐

     * 즉, 표본분포의 확률적 수렴(=> 정규분포화)을 나타내는 정리가 중심극한정리 임
        . 例) 심지어, 모집단 확률분포가 정규분포가 아닌 균등분포일 때도, 
           .. 표본평균의 표본분포는 정규분포화 하게 됨

     * 요약하면, 
        . 모집단이 정규분포를 따르면, 표본평균도 정규분포를 따르고,
        . 모집단이 정규분포를 따르지 않더라도, 
           .. 표본크기가 크면 (n≥30), 표본평균의 표본분포가 정규분포에 근사적이라고 봄

  ㅇ 한편, 단일 모집단이 아닌 두 모집단의 비교에서, 두 표본평균의 차이도, 이와 유사함