1. 위수, 표수
ㅇ 위수 (order)
- 체의 원소의 갯수 : |F|
ㅇ 표수 (characteristic)
* 체의 표수는, 0 이거나 소수 임
- n번 더하여 영원이 되게하는 가장 작은 수
. 모든 원소 a에 대해서,
. n·a = a + a + ... + a (a의 n개의 합) = 0 이 되게 하는,
. 양의 최소 정수 n (최소 자연수)
- 만일, 이러한 양의 최소 정수가 존재하지 않으면, 표수는 0
. 표수가 0인 체는, 무한체 임
. 例) 무한체인 Z(정수체), Q(유리수체), R(실수체), C(복소수체)는 표수가 0
.. 우리가 다루는 대부분의 수체계에서는, 그 표수가 0 임
.. (즉, 그러한 작은 수는 없음)
- 만일, 단위원 1을 갖는 환(Ring with Unity)이면,
. a = 1 즉, n·1 = 0 만 검토하면 충분함
- 표기 : char(F) = n
2. 확대체 (extension field), 부분체 (subfield), 체의 확대 (field extension)
ㅇ 주어진 체에 원소를 추가하여 얻어지는 더 큰 체
ㅇ 표기
- (확대체, 부분체) : F ≤ E (E는 F의 확대체, F는 E의 부분체)
. 부분체 F는, 확대체 E의 사칙연산에 대해 닫혀있음
- (체의 확대) : C/R, GF(pn)/GF(p) 등으로 표기함.
. 부분체 및 확대체의 관계
ㅇ 例)
- 복소수체 C는, 실수체 R의 확대체 (C/R)
- 실수체 R은, 유리수체 Q의 확대체 (R/Q)
- 복소수체 C는, R,Q 모두의 확대체
- 또한, C/Q는, 체의 확대를 나타냄
ㅇ GF(p)의 확대체 : GF(pn)
- (응용에서 필수적인 개념임)
- 임의 정수 n에 대해 GF(p)를 GF(pn)로 확장할 수 있음
ㅇ GF(pn)의 부분체 : GF(p)
- 원래의 체 안에 포함됨
- GF(p) 또는 GF(p1)를 소체(prime field)라고도 함
ㅇ 例) 이진체 : GP(2), 이진 확대체 : GP(2n)
3. 원시 원소 (Primitive Element)
ㅇ 0을 제외하고, 모든 다른 원소들을 자신의 거듭제곱(power)으로 표현 가능한 원소를 말함
- 특정 체에서, 1개 이상의 원시 원소를 갖을 수 있음
ㅇ 例) GF(5) = {0,1,2,3,4} 의 원시 원소는 2 및 3 임
- 20 = 1 ≡ 1 (mod 5), 21 = 2 ≡ 2 (mod 5), 22 = 4 ≡ 4 (mod 5), 23 = 8 ≡ 3 (mod 5)
- 30 = 1 ≡ 1 (mod 5), 31 = 3 ≡ 3 (mod 5), 32 = 9 ≡ 4 (mod 5), 33 = 27 ≡ 2 (mod 5)
ㅇ 체의 확장에서 중요한 역할을 하며, 특히 유한체 GF(pn)에서 많이 사용
- 원시원소 g는, 체의 생성원(generator)임
. 즉, 유한체의 모든 비영 원소는 생성원 g의 거듭제곱으로 나타낼 수 있음
. 이때, 비영 원소들의 지수는 체의 크기(위수)에서 1을 뺀 값, 즉 pn − 1 안에서 순환함
- 원시원소 g는, 곱셈군을 생성
{# g^0 = 1, \qquad g^1, g^2, \cdots , g^{p^n-2} #}
. 즉, 원시원소 g는, 체의 모든 비영 원소들을 한 번씩 나타낼 수 있는 생성원 역할을 함