Signal Space   신호 공간

1. 신호 공간 (Signal Space,Signal Set)

  ㅇ 신호를 수학적으로 표현하는 벡터 공간
     - 수학에서의 벡터 공간의 벡터 처럼, 신호들이 대수적 체계를 형성하는 공간
     
  ㅇ 특히, 디지털통신 상의 에너지 신호들을 기하학적으로 표현하기 용이
     - 例) 디지털 변조된 신호 파형들이, 신호 공간에 명확히 `벡터` 또는 `점`으로 표현 가능
        . 신호 공간 내 각 신호를 벡터 또는 점으로 나타낼 수 있으며, 
        . 이는 정규직교 기저벡터들의 선형 결합으로 표현 가능


2. 신호 파형, 신호 벡터 간의 표현식 비교

  ㅇ 신호 파형 (Signal Waveform) 
     - 신호를, N차원 직교 함수 공간에서, 정규직교화된 기저함수들의 선형결합으로 표현
         
[# s_i(t) = \sum^{N}_{j=1} s_{ij} \; φ_j(t) \quad (i = 1, \cdots \ , M) #]
 
        . 여기서,
           .. 신호 파형 집합 : {# \{ s_i(t)  \; | \; i = 1, \cdots ,M \} #}
           .. 정규직교 기저 함수 : {# \{ φ_j(t) \; | \; j = 1, \cdots ,N \} #}
           .. 계수 : {# s_{ij} = \int^T_0 s_{ij}(t) φ_j(t) dt #}
           .. M ≥ N

  ㅇ 신호 벡터 (Signal Vector) 
     - 신호를, N차원 직교 벡터 공간에서, 정규직교화된 기저벡터들의 선형결합으로 표현
         
[# \bar{s}_i = \sum^N_{j=1} s_{ij} \; \bar{φ}_j 
            = \begin{bmatrix} s_{i1} \\ \vdots \\ s_{iN} \end{bmatrix}
            \qquad \left\{ \begin{matrix} i = 1,\cdots,M \\ j = 1,\cdots,N \end{matrix} \right. #]


3. 신호 공간에서, 신호 파형,신호 벡터 간의 등가적 관계

  ㅇ 신호 공간 내 신호 집합의 요소들은,
     - 신호 벡터 또는 신호 파형으로 상호 등가적인 표현이 가능하며,
     - 또한, 이들 상호간에 매핑도 가능

  ㅇ 즉, 신호 공간에서는, 유한 에너지 신호 파형을 신호 벡터로 동등하게 취급 가능함
     - 例) 벡터 합 u + v는 시간 t에서 u(t) + v(t)로 매핑하는 함수로 취급 가능함 


4. 신호 공간에서, 주요 개념 정리

  ㅇ 차원 (Dimension)
     - 벡터 공간 차원 : 벡터 공간에서 기저(Basis)를 이루는 기저 벡터의 수
     - 신호 공간 차원 : 신호 공간에서 독립적인 기저 신호로 표현 가능한 수
        . 독립 기저의 선형결합으로 공간 표현 
           .. 이때, 기저 선택이 유일하지 않음(무수히 많을 수 있음)

  ㅇ 내적 (Inner Product)
      
     - 두 신호 또는 벡터 간의 상관 관계를 측정하는 중요한 연산

  ㅇ 노름 (Norm)
     
     - 노름은 신호 벡터의 진폭으로 볼 수 있음
        . 하나의 심볼 구간 동안 송신된 신호 에너지

  ㅇ 삼각부등식 (Triangular Inequality)
     
     - 두 신호 또는 벡터 사이의 거리와 관련된 수학적 속성

  ㅇ 방향성 표현
     - 벡터 : 유향선분(화살표)에 의해 표현 
     - 신호 : 신호가 갖는 위상,주파수로써 표현 가능

  ㅇ 점 표현
     - 벡터를 벡터 공간에서 기하학적으로 방향선분으로 표현하는 것 처럼,
     - 신호도 신호 공간에서 유사하게 점으로 표현이 가능


5. 신호 공간에서, 신호의 기하학적 표현 (성상도)의 장점

  ㅇ 신호를 일반화된 신호 공간 상의 한 점으로 표시함으로써,
     - 신호를 기하학적으로 관찰 가능
        . 例) 결정 신호는, 한 점으로 표현, 
              랜덤 프로세스는, 불규칙한 구름 처럼 표현
     - 또한, 전송 신호 점 사이에 최소거리를 검토하는데 도움이 됨

  ㅇ 수학적 간결성 도모
     - 복수개의 신호라도 한결 간결하게 표현 가능
     - 벡터적 표현을 응용하여 복잡성을 줄임

  ㅇ 아날로그 통신,디지털 통신 모두에 적용 가능