Euler Method   오일러 법, Euler 법

1. Euler 법

  ㅇ 1계 미분방정식의 초기값 문제에 대한 수치적 해를 구하는, 가장 간단한 수치해법

  ㅇ (명칭) `점 기울기 법`, `접선 근사법`, `Euler-Cauchy 법`이라고도 불리움


2. Euler 법의 특징

  ㅇ 상 미분방정식을 푸는 가장 간단한 수치 해법
     - 비교적 오차는 크나, 알고리즘이 매우 간단함

  ㅇ 비교적 오차가 큼
     - 구간간격의 작은 변화에도 급격하게 영향을 줌
     - 다만, 구간간격을 작게하면 정확도는 개선되나, 
     - 이에따라, 계산 스텝 수가 늘어나므로, 실행 시간이 길어짐

  ㅇ 테일러 근사로부터 유도됨
     - 새로운 점에 대한 근사값이, 
     - 이전 점의 `접선`과 새로운 점의 `수직선`과의 `교점`에서 얻어짐


3. Euler 방법에 의한, 1계 미분방정식 문제 풀이 방식

  ㅇ 문제 
     -  {# dy/dt = f(t,y), \quad y(t_0) = y_0 #}
        . y : 미지의 함수, f(t,y) : 기지의 함수, y0 : 초기값 

  ㅇ Euler 접근법
     - 문제의 미분방정식을, 
         {# dy/dt = f(t,y) #}
     - 미분의 차분 근사식으로부터,
         {# dy/dt \approx [y(t+Δt) - y(t)]/Δt #}
     - 재귀적으로, 수치 근사 계산이 가능한 차분방정식으로 바꿈 
         {# [y(t+Δt) - y(t)]/Δt = f(t,y) #}
         {# y(t+Δt) = y(t) + f(t,y)Δt #}
         {# y(t_{k+1}) = y(t_k) + f(t_k,y(t_k))Δt #}
           ..  f(tk,y(tk)) : 증분 함수 (접선 기울기)
           .. Δt : 구간 간격 (균등 간격 임)

     - 위 차분방정식 형태는, 
        . 해 곡선의 접선 방정식과 동등한 형태임                              ☞ 접선 방정식 참조
           .. 다음 값 = 초기값 + 기울기 x (구간 간격)
           .. {# y_1 = y_0 + f(t_0,y_0)(t_1 - t_0) #}
        . 또한, 테일러 급수를 활용한, 1차 테일러 근사와 동등한 형태임
           .. {# f(t) = f(a) + f'(a)(t-a) + \cdots #}

  ㅇ 수정된 Euler 접근법
     - 오차를 줄이기 위해, 평균을 취해 사용
        . y(tk+1) = y(tk) + Δt/2 (fk + fk+1)
           .. fk = f[tk,y(tk)]

  ㅇ 풀이 
     - 점(t0,y0)을 시작점으로하여,
        . 다른 t의 값들에서 미지의 함수 y의 값들을 연이어 구함
     - 각 단계의 시작점에서는, 
        . `함수 f(t,y)의 값`을 해당 단계의 `기울기`로 취함
        . 여기서, f(t,y) = dy/dt 임
     - 결국, 
        . 새로운값 = 이전값 + 기울기 x 구간간격 = 이전값 + f(t,y)Δt


4. Euler 방법에 의한, 알고리즘 

  ㅇ 처음에, 구간간격을 산출함  ⓛ
  ㅇ 주어진 초기값부터 시작하여,  ② 
  ㅇ for 반복문을, 구간 간격 스텝 수(N) 만큼, 실행시키며,  ③
     - 이어지는 다른 t의 값들에서, 연이어 근사값을 구하게 됨  ④
     
h = (b - a)/N                        ... ①
y[a] = y[0]                          ... ②
for i (0,...,N-1)                    ... ③
    y[i+1] = y[i] + h f(t[i],y[i])   ... ④