Second-order System   2차 시스템

1. 2차 시스템 (Second-order System)

  ㅇ 수학적으로, 선형 2계 미분방정식 (운동방정식)으로, 모델링되는 시스템
      
[# \frac{d^2 x}{d t^2} + a_1 \frac{d x }{d t } + a_0 \, x = f(t) #]
 
     - f(t) : 강제함수(입력)
     - a1,a0 : 실수 계수
        . 만일, LTI시스템이면, => 계수가 실수 상수가 되고, => 상수 계수 2계 미분방정식 임
     - x(t) : 변위,전압,전류 등 시스템 변수(출력)
        . 여기서, x(t)는 구하고자하는 미분방정식 해

  ㅇ 제어시스템 대부분(2차 이상의 고차)의 해석 및 설계가, 
     - 이러한 2차 시스템을 기준으로 이루어져 왔음

  ※ 아래와 같이, 전기계(2차회로 참조)이든 물리계이든,
     - 수학적으로는 동일하게 취급됨  (☞ 아래 2.번항 및 2차 회로 참조)


2. 2차 시스템의 모델링  
  
  ㅇ 질량 - 스프링 - 감쇠 시스템 (Mass Spring Damper Model) 例  : (1 자유도 진동계)

     

     - m : 관성질량 (에너지 저장 가능)
     - c : 댐핑 (에너지 소실)
     - k : 강성 (스프링의 경우에 탄성계수)
     - f : 입력(강제력/여기력)
     - x : 출력 또는 질량 m의 위치 변화량


3. 2차 시스템의 운동방정식 표준형

        
  
  ㅇ 관성력 (Inertia Force, I)        :  
     - (m : 관성 질량)
  ㅇ 감쇠력 (Damping Force, D)        :  
     - 속도에 비례하는 저항력
     - (c : 댐핑 계수)
  ㅇ 탄성 복원력 (Restoring Force, K) :  
     - (k : 탄성 계수)
  ㅇ 여기력 (Excitation Force, F)     :  
     - 외부의 구동력 (Driving Force)
  ※ ☞ 진동 관련 힘 참조


4. 2차 시스템의 운동/진동 종류

  ㅇ 비감쇠 자유진동 : D = 0, F = 0  =>  
  ㅇ 감쇠 자유진동   : F = 0         =>  
  ㅇ 비감쇠 강제진동 : D = 0         =>  
  ㅇ 감쇠 강제진동   : 모든 항 존재  =>  


5. 2차 시스템의 전달함수 (2차 폐루프 제어시스템)

  ㅇ 2차 시스템의 전달함수 표준형
     
     -  ζ : 제동비, ωn : 고유진동수, Q : 양호도

     * 분자 다항식 N(s)의 형태 및 근(영점)에 따라,
        . LPF, HPF, BPF, BSF, APF 로 구분이 가능
          

     * 분모 다항식 D(s) 형태 및 근(극점)에 따라, 
        . 입력과는 무관한 시스템 고유의 특성을 나타냄
           .. 극점에 의해 시스템의 과도응답,안정도 등 동작 특성이 지배를 받음
        . 분모 다항식 = s2+2ζωns+ωn2 또는 s2+(Q/ωn)s+ωn2 = 특성 방정식


6. 2차 시스템 例

  ㅇ [전기회로]   2차 회로 (RLC 회로)

  ㅇ [제어시스템] 2차 단순 폐루프 제어시스템 예

  ㅇ [물리계]     단순 조화진동 등