1. 가우스 법칙
ㅇ 전하가 만드는 전기장을 구하는 법칙
- `폐곡면 통과 전기장`과 `폐곡면 내부 전하량`과의 정량적 등가 관계를 나타냄
※ Karl Friedrich Gauss (1777-1855)
- 19세기 독일의 위대한 수학자이자 과학자
. 그의 후반기에, 전기량 및 자기량을 최초로 측정 및 이론적 체계화
2. 가우스 법칙의 표현
ㅇ 전기장에 대한 가우스 법칙
- 가우스법칙의 적분형
. `어떤 폐곡면을 통과하는 총 전속은 그 곡면내에 둘러싸인 총 전하량과 같다`
[# Ψ = \oint_S \mathbf{D} \cdot d\mathbf{s} = \sum Q #]
.. ∮ : 폐곡면에 대한 적분 수행, S : 면적분 (가우스 표면)
.. D : 전속밀도, · : 점곱(표면 수직 방향의 D 성분 크기), ds : 미소 면적 법선 벡터
.. ∑Q : 폐곡면 내 총 전하량
- 가우스법칙의 미분형
. `단위 체적에서 발산하는 전속밀도는 그 체적 내의 전하밀도와 같다`
[# \nabla \cdot \mathbf{D} = \rho #]
.. ∇· : div 연산자, ρ : 전하밀도
* 위에서,
. ∑Q, ρ는 전기장의 원천으로써의 전하의 존재를 나타냄
ㅇ 자기장에 대한 가우스 법칙
- 가우스법칙의 적분형
. `어떤 폐곡면을 지나는 자기장의 알짜 선속은 (실제 존재 않는) 내부 자하와 같다`
[# \oint \mathbf{B} \cdot \mathbf{n}dA = 0 #]
- 가우스법칙의 미분형
[# \nabla \cdot \mathbf{H} = 0 #]
. 우변이 영(zero)으로 자하(Magnetic Charge)가 존재하지 않음을 나타냄
3. 가우스 법칙의 특징
ㅇ 가우스법칙은 쿨롱의 법칙과는 다르게 전기장을 구하는 방법
- 대칭성이 있는 경우에 쿨롱의 법칙 보다 정전계 문제를 좀더 쉽게 다룰 수 있음
. 특정한 조건(가우스 면의 설정) 하에서 전계의 계산을 단순하게 해줌
ㅇ 가우스 면(Gauss surface)이란?
- 수학적인 폐곡면(closed surface)
. 전속밀도가 이 가우스 표면에 수직 또는 접선이 되게 함으로써 문제가 단순해짐
4. 가우스 법칙에 의한 전계 계산식
ㅇ 점 전하 : {# E = Q/4πεr^2 #} (Q : 전하량 [C])
ㅇ 선 전하 : {# E = λ/2πεr #} (λ : 선 전하 밀도 [C/m])
ㅇ 면 전하
- 도체 : {# E = σ/ε #} (σ : 면 전하 밀도 [C/㎡])
- 절연체 : {# E = σ/2ε #}
ㅇ 원통 전하
- 원통 내 : {# E = ρr/2rε #} (ρ : 체적 전하 밀도 [C/㎥])
- 원통 밖 : {# E = a^2/2rε #}
ㅇ 구 전하
- 구 내 : {# E = ρr/3ε #} (ρ : 체적 전하 밀도 [C/㎥])
- 구 밖 : {# E = ρa^3/2εr^2 #}