DFT   Discrete Fourier Transform   이산 푸리에 변환

1. 이산 푸리에 변환 (DFT, Discrete Fourier Transform)

  ㅇ 디지털시스템 설계와 신호처리 및 해석에 광범위하게 사용되는 수치계산용 변환 도구

  ㅇ 신호 및 시스템에 대한 `유한 이산 시간` 및 `유한 이산 주파수` 간의 변환,해석에 유용

  ㅇ 복잡한 표 찾기나 수식 풀이가 없이, 디지털 계산 만으로도, 실제 응용에 직접 적용 가능


2. DFT의 특징

  ㅇ (이산적)  시간 영역 및 주파수 영역 모두에서, `이산적`임
     - `시간 상의 신호 표본`들로부터 `주파수 상의 스펙트럼 표본`을 대응시켜 구하는 방법
    
  ㅇ (유한적)  시간 영역 및 주파수 영역 모두에서, `유한한` 샘플 형태
     - `시간 제한` 및 `대역 제한`된 유한 샘플들 만으로 변환 가능케함 (윈도우에 의해)

  ㅇ (주기적)  시간 샘플 수열 및 주파수 샘플 수열 모두에서, `주기성`을 갖음
     - 보통, 시간 및 주파수 샘플 수를 같도록 함으로써, 계산 취급의 용이성을 줌

  ㅇ (대응적)  컴퓨터 수치 계산을 용이하기 위해, 시간,주파수 간에 `서로 대응`되는 구조를 갖게 함
     - 주기적인 N개 유한 시간 샘플 수열에 대해, 주기적인 N개 유한 주파수 샘플 계수를 대응시킴
     - 즉, `이산 주기 시간 신호` ↔ `이산 주기 주파수 스펙트럼`


3. DFT의 표현식

  ㅇ N점 DFT 쌍 (이산 푸리에 변환 쌍)
      
[# x[n] = \frac{1}{N} \sum^{N-1}_{k=0} X[k] W^{-kn}_{N} \quad \longleftrightarrow \quad 
   X[k] = \sum^{N-1}_{n=0} x[n] W^{kn}_{N} #]
     - (시간 인덱스 : n = 0,1,...,N-1)
     - (주파수 인덱스 : k = 0,1,...,N-1)
     - 
[# W_N = e^{-j\frac{2π}{N}}, \quad W^{kn}_{N} = e^{-j\frac{2π}{N}kn} #]

  ㅇ DFT  (이산 푸리에 변환, 분해식)
      
[# X[k] = DFT \{ x[n] \} \\
         \qquad = \sum^{N-1}_{n=0} x[n] e^{-j\frac{2π}{N}nk} \qquad (k = 0,1,2,\cdots,N-1) \\
         \qquad = \sum^{N-1}_{n=0} x[n] W^{kn}_N \qquad (W_N = e^{-j\frac{2π}{N}}) \\ 
         \qquad = x[0]W^0_N + x[1]W^k_N + x[2]W^{2k}_N + \cdots + x[N-1]W^{(N-1)k}_N #]

  ㅇ IDFT  (역 이산 푸리에 변환, 합성식)
      
[# x[n] = DFT^{-1} \{ X[k] \} \\ 
         \qquad = \frac{1}{N} \sum^{N-1}_{k=0} X[k] W^{-kn}_N \qquad (n=0,1,\cdots,N-1) #]


4. DFT 변환 표현식에서, 주요 항의 의미

  ㅇ N : 주기적인 유한 시간/주파수 샘플 수

  ㅇ 2π/N = Ωo : 디지털 라디안 기본 주파수
     - Ω = Ωo·k = (2π/N)·k  (k = 0,1,...,N-1) : 디지털 라디안 주파수

  ㅇ W = e-j2π/N   : Twiddle Factor (회전인자)
     - 이는 복소지수 항을 간결히 표현하기 위한 것
     - Wkn = e-j(2π/N)kn 에서,
        . k(유리수)는, 0~2π 사이에서 균등 구분된 이산 주파수 이고,
        . n(정수)은, n번째 항을 가리키는 이산 시간 이고,
        . N은, 주기를 나타냄


5. DFT와 타 변환과의 관계

  ㅇ DFT 및 DTFT 간의 관계
     

     - 유한 이산 신호를 DTFT하여 얻어진 연속 주기 스펙트럼을 등간격 샘플링한 것을 역변환하면
       이산 주기 신호가 얻어짐
        . 주기 신호는 스펙트럼이 이산적이지만, 
        . 비 주기 신호는 이산 신호라도 스펙트럼은 연속이므로,
        . 스펙트럼 역시 이산적으로 표현해야 함으로 주파수 샘플들을 취할 필요 있음

  ㅇ DFT 및 z 변환 간의 관계
     - DFT는 z 평면 상의 단위원 원주 위에 있는 등간격 N개 점에서 z 변환의 값을 구한 것과 같음


6. DFT의 성질

  ※ ☞ `이산 푸리에변환 성질` 참조
     - 주기성, 선형성, 시간이동성, 대칭성(헤르미트 대칭) 등


7. DFT의 계산상의 특징

  ※ ☞ DFT 계산 참조