DTFT   Discrete Time Fourier Transform   이산시간 푸리에 변환

1. 이산시간 푸리에변환 (DTFT)

  

  ㅇ DTFT (이산시간 푸리에변환) 
     - X(Ω) : `연속성` 및 `주기성`을 갖는 주파수 스펙트럼 (푸리에 계수)
        . 연속성 : 연속 실수 변수 Ω(디지털 라디안 주파수,[rad/sample])를 지수로 갖는
                   복소지수 연속 함수 임
        . 주기성 : 주파수 구간 (0,2π) 또는 (-π,π)의 주기를 갖음 X(Ω+2πk)=X(Ω)
           .. 즉, 주파수가 유한한 범위 내에 있게 됨

  ㅇ IDTFT (이산시간 역 푸리에변환) 
     - x[n]  : `이산성` 및 `비주기성`을 갖는 시간 신호


2. DTFT의 복소 좌표 표현

  ㅇ DTFT X(Ω)는 복소수 연속함수 이므로, 다음과 같이 복소 좌표계로 표현 가능
     - 직각좌표 형식 : {# X(Ω) = Re[X(Ω)] + jIm[X(Ω)] #} 
     - 극좌표 형식 : {# X(Ω) = |X(Ω)| e^{j\angle X(Ω)} #} 


3. DTFT의 성질

  ㅇ 주기성 : 
[# X(Ω+2mπ) = X(Ω) #]
     - 따라서, 전체 주파수영역을 굳이 모두 해석할 필요없이, 2π 구간 만 다루면 됨

  ㅇ 대칭성 : 
[# X^*(Ω) = X(-Ω) #]
                            ☞ 공액 대칭 참조
     - 따라서, 반주기 [0,π] 구간 만 해석해도 충분함
     * 특히, 실수부 {#Re[X(Ω)]#}는 우 대칭, 허수부 {#Im[X(Ω)]#}는 기 대칭,
             진폭스펙트럼 {#|X(Ω)|#}는 우 대칭, 위상스펙트럼 {#\angle X(Ω)#}는 기 대칭 

  ㅇ 선형성 : 
[# αx[n]+βy[n] \; \longleftrightarrow \; αX(Ω)+βY(Ω) #]


4. DTFT 수렴성

  ㅇ x[n]이 절대 가합적 (absolutely summable)
     

  ㅇ 또는, x[n]이 유한 에너지를 갖는 에너지 신호일 경우
     


5. DTFT 변환 쌍

   


6. 타 변환 과의 관계 

  ㅇ 샘플링을 통한 CTFT, DTFT 관계
      

  ㅇ DTFT 변환과 z 변환 관계
     
     - DTFT는 z 변환의 특수한 경우로써, z 변환에서 으로 둔 것과 같음
        . 즉, DTFT는 z 평면에서 단위 원주 에 대해서 만 z 변환한 것과 같음


7. 임펄스 응답 과의 관계

  ㅇ 시간영역의 이산 임펄스응답 h[n]을 주파수영역의 DTFT 변환한 것이 주파수응답이 됨