Exponential Distribution   지수 분포, 지수 확률분포

1. 지수분포

  ㅇ 어떤 사건이 처음 발생할 때까지의 경과 시간에 대한 연속확률분포
     - 즉, 사건과 사건 사이의 `경과된 시간`에 대한 확률 분포
        . 例) 인접 사건 간의 시간 간격에 대한 확률 분포
        . 例) 어느 기간 동안 사건이 한번도 안 일어날 확률에 대한 분포

  ㅇ 활용
     - 창구에서 평균 대기시간, 도착간 시간(Inter-arrival time), 
       고장과 관련된 수명 (고장율) 등을 모형화하는데 적합한 확률분포

  ㅇ 분포 모양
     - 지수 형태 (λe-λx)의 분포모양을 갖음


2. 지수분포 특성

  ㅇ 표기 :  X ~ Exp(λ)
     - λ : 모수 (단위 시간 동안 발생하는 평균 사건 수)

  ㅇ 확률밀도함수  
     - 모수 λ > 0 에 의해 결정됨, 지수감소(exponential decay) 형태를 갖음.
         

  ㅇ 누적분포함수
       

  ㅇ 기대값
     

  ㅇ 분산(Variance)
     

  ㅇ 표준편차
     


3. 지수분포에서 건망증 또는 무기억성 (Memoryless)

  ㅇ 어떤 장치가 고장나지 않았다는 조건하에서 나머지 수명은,
     그 시간 이전의 그 장치의 수명에 대한 확률밀도함수와 같아짐

  ㅇ 즉, 그 시간 경과한 후에  마치 0 시점에서 새로 시작하는 것처럼 행동함


4. 지수 분포와 타 분포와의 비교

  ㅇ 지수분포는, 포아송분포 (Poission)의 변형
     - 포아송분포 (단위 시간 내 발생 확률 분포) : {# p_X(x) = \dfrac{λ^x e^{-λ}}{x!} #}
     - 만일, 평균 사건 수를 λ라고 가정하면, t 단위 시간 내, 평균 사건 발생 수는 tλ 임
     - 단, (0,t) 시간 동안 사건이 안 일어날 (x = 0) 확률은, {# p_X(0) = \dfrac{(λt)^0 e^{-λt}}{0!} = e^{-λt} #}
     - 따라서, t 시간 경과 후 최초 사건 발생 확률은, {# P(X > t) = e^{-λt} #} 
     - 결국, 지수분포 (경과 시간 후, 최초 발생 확률 분포)의 누적분포함수, 확률밀도함수는, 
        . {# P(X \leq t) = F(t) = 1 - e^{-λt} #}
        . {# f_X(t) = dF(t)/dt = λe^{-λt} #}

  ㅇ 감마 분포 (Gamma)
     - 어떤 사건과 k번째 후의 사건과의 시간간격을 나타냄
        . 사건이 k회 일어날 때까지 걸리는 시간 분포
     - 지수분포를 일반화한 것
     - 지수분포와 달리 기억성을 갖음

  ㅇ 와이블 분포 (Weibull)
     - 지수 분포를 보다 일반화시켜, 여러 다양한 확률분포 형태를 모두 나타낼 수 있도록 고안됨