Conditional Probability, Conditional PDF   조건 확률, 조건부 확률, 조건 확률밀도함수

1. 조건부 확률 (Conditional Probability)

  ㅇ 어떤 좁혀진 조건 하에서 발생 확률

  ㅇ (조건부 확률의 의의/의미)
     - 만일, 표본공간에 새로운 정보가 추가되면, 
        . 그에 따라 갱신된 (좁혀진) 표본공간에서 구하게 되는 확률
     - 이렇게, 매회(관측) 마다 달라진 조건 (좁혀진 부분을 전체로 간주함)에 따라, 
        . 매번 좁혀진 범위에서, 
        . (더 나은 특성을 갖는) 새로이 계산된 확률값을 취하는 방식
     * [참고] ☞ 베이즈 통계 (베이즈 갱신), 우도 참조


2. 조건부 확률의 정의 및 표기

  ㅇ  P(B|A) = P(A∩B) / P(A)   (여기서,  P(A) > 0)

     -  P(B|A) : A 조건 하에 B가 일어날 조건부 확률 (Conditional Probability)
        . P(B)는, 표본공간 S에서 사건 B가 발생한 확률인 반면에,
        . P(B|A)는, 사건 A를 표본공간으로 취급하여 그 안에서 사건 B가 발생한 확률임
     -  P(A,B) = P(AB) = P(A∩B) : 함께/동시에 일어날 결합 확률 (Joint Probability)
     -  P(A) : 특정 사건 A에 만 주목한 주변 확률 (Marginal Probability)

  ㅇ 例) S = {1,2,3,4,5,6}, A = {2,4,6}, B = {4,5,6} 이면,
     - 전체 확률 : P(S) = 6/6 = 1
     - 결합 확률 : P(A∩B) = 2/6 = 1/3
     - 주변 확률 : P(A) = 3/6 = 1/2, P(B) = 3/6 = 1/2
     - 조건부 확률
        . P(B|A) = P(A∩B) / P(A) = {4,6} / {2,4,6} = 2/3 
        . P(A|B) = P(A∩B) / P(B) = {4,6} / {4,5,6} = 2/3 


3. 독립사건(Independent) 및 종속사건(Dependent)에서의 조건부확률

  ㅇ 사건 A,B가 독립사건이면,   
     -  P(A|B) = P(A) 또는 P(B|A) = P(B)

  ㅇ 사건 A,B가 종속사건이면,   
     -  P(A|B) = P(A,B) / P(B) 또는 P(B|A) = P(B,A) / P(A)


4. 조건 확률분포

  ㅇ 조건 확률누적분포함수 (Conditional CDF)
     

     - 성질
       

  ㅇ 조건 확률밀도함수 (Conditional PDF)
     

     - 성질
       

  ㅇ 다변량 조건 확률밀도함수 (Multivariate Conditional PDF)
     - Xk+1,Xk+2,...,Xp가 주어졌을 때의 조건부 확률밀도함수