Analytic Signal, Pre-Envelope, Causal Signal   해석적 신호, 인과적 신호

1. 해석적 신호 (Analytic Signal, Pre Envelope)

  ㅇ 실수 신호 x(t)를 복소수 신호로 확장한 특별한 형태로,
     - 주파수 영역에서 양(positive) 주파수 성분만을 갖는 신호를 말함
     - 즉, 푸리에 변환 X(ω) 관점에서 보면,
        . ω > 0 (양의 주파수)에서는, 원래 신호의 스펙트럼을 그대로 포함하고,
        . ω < 0 (음의 주파수)에서는, 값이 0이 되는, 복소수 신호 임

  ㅇ 해석적 신호의 수식 표현
     
[# x_a(t) = x(t) + j \, \hat x(t) \\
        X_a(ω) = X(ω) + j \, \hat X(ω) = X(ω) + j \, (- j \, \text{sgn} \, ω) X(ω) #]
     - xa(t)  : 실수값 신호 x(t)에 상응하는, 해석적 신호  (complex-valued)
        . 단지 양(positive)의 주파수에서 만 0 이 아닌 값을 갖는, 복소수값 신호
     - x(t)   : 원래의, 실수값 신호  (real-valued signal)
        . 항상 f = 0 을 중심으로 우대칭인 주파수 스펙트럼을 갖게되는, 실수값 신호 
     - x^(t)  : x(t)의 힐버트 변환된 신호
        . 힐버트 변환된 신호 : 모든 주파수 성분에 대해 90˚(π/2) 위상 지연시킨 신호
     - X^(ω) : 힐버트 변환된 신호 x^(t)의 푸리에 변환
     - sgn(ω) : 부호 함수 (Signum function)

  ㅇ 결과적으로,
     - 해석적 신호는, 실수 신호를 복소수 신호로 확장한 것으로,
        . 시간 영역과 주파수 영역에서 모두 유용한 해석적 성질을 제공함
     - 특히,
        . 진폭과 위상을 분리하여 표현하기에 용이함
        . 통신에서, 복소 기저대역 표현에 널리 사용됨
        . 원 신호의 물리적 성질을 잃지 않으면서, 주파수 분석을 더 단순하게 만듬


2. 인과적 신호 (Causal Signal)

  ㅇ 푸리에변환 관계(주파수 스펙트럼)에서 볼 때, 
     - 실수부 : 우대칭, 허수부 : 기대칭 인 `복소수 신호`

  ㅇ 수식 표현