1. 코시-슈바르츠 부등식 (Cauchy-Schwarz Inequality)
※ 선형대수와 해석학에서 매우 중요한 기본 부등식
ㅇ 두 벡터의 내적의 절대값 크기 및 두 노름의 곱 간의 관계
[# |\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}| \leq \|\mathbf{x}\| \|\mathbf{y}\| \\
|\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\rangle| \leq \|\mathbf{x}\| \|\mathbf{y}\| \\
|\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}|^2 \leq \|\mathbf{x}\|^2 \|\mathbf{y}\|^2 #]
ㅇ 두 함수/신호의 내적의 절대값 크기 및 두 노름의 곱 간의 관계
[# |\langle x(t),y(t)\rangle| \leq \|x(t)\| \|y(t)\| \\
\left| \int x(t)\, y^*(t)\, dt \right|^2 \leq \int |x(t)|^2\, dt \int |y(t)|^2\, dt #]
※ 두 벡터의 곱(내적)은, 각 벡터 길이(노름)의 곱을 절대 넘지 않음
- 벡터가 완전히 같은 방향일 때만 최대값이 됨
. 등호가 성립하는 경우로써, 두 벡터가 서로 평행일 때임
. 하나가 영벡터이거나, 다른 것의 스칼라배일 때만 성립 : x = ky, x(t) = ky(t)
- 쉽게, 두 벡터가 얼마나 비슷한 방향인지 제한하는 공식