1. 다변수 함수의 적분 유형
ㅇ 적분의 기하학적 대상(곡선,곡면,부피)에 따른 구분 : 선 적분, 면 적분, 체적 적분
- 곡선(1차원), 곡면(2차원), 공간(3차원)을 적분 대상으로 함
ㅇ 적분하는 변수 수에 따른 구분 : 다중 적분 (단일 적분, 이중 적분, 삼중 적분)
※ (유형 구분)
- 선 적분,면 적분,체적 적분은 무엇을 대상으로 적분하는가에 따른 구분이고,
- 단일적분,이중 적분,삼중 적분은 몇 개의 독립변수에 대해 적분하는가에 따른 구분임
. 곡면 위의 면 적분은 좌표계와 곡면의 표현 방식에 따라 이중 적분 형태로 계산할 수 있으며,
. 체적 적분은 일반적으로 삼중 적분 형태로 계산함
2. 적분의 기하학적 대상(곡선,곡면,부피)에 따른 구분
ㅇ 선 적분 (Line Integral) : 1차원 경로(곡선)를 따라 취하는 적분
- 例) 곡선의 호의 길이, 곡선을 따라 한 일(Work) 등
ㅇ 면적 적분 (Surface Integral) : 2차원 면(곡면)을 대상으로 취하는 이중 적분
- 例) 곡면의 넓이, 곡면을 통과하는 유량(Flux) 등
ㅇ 체적 적분 (Volume Integral) : 3차원 공간(부피)을 대상으로 취하는 삼중 적분
- 例) 입체의 체적, 밀도를 포괄하는 물체의 질량(Mass) 등
3. 면 적분 (Surface Integral)
ㅇ 공간 내 다변수함수(스칼라장,벡터장)에 대해 휘어진 곡면 위로 다변수 함수를 적분하는 것
ㅇ 휘어진 곡면 위에 정의된 다변수 함수 또는 공간상의 장(Field)을 곡면에 걸쳐 적분하는 것
- 스칼라장 {#f(x,y,z)#}의 면적분
. 곡면의 각 지점에서의 스칼라값을 면적 요소 {#dS#}에 대해 적분
. 적분 결과 : 스칼라량
- 벡터장 {#\mathbf{F}(x,y,z)#}의 면적분
. 벡터장의 법선 방향 성분을 면적에 대해 적분
. 적분 결과 : 스칼라량 (유량, Flux)
. 면적 벡터 {#d\mathbf{S}=\mathbf{n}\cdot dS#}를 이용하여 표현
※ [참고]
- 스칼라장 면 적분 : 곡면의 넓이 계산 등에 이용
- 벡터장 면 적분 : 곡면을 통과하는 유량(Flux) 계산 등에 이용
- 발산 정리 : 벡터장의 발산을 체적 적분과 폐곡면의 면 적분으로 연결
- 스토크스 정리 : 벡터장의 회전(Curl)을 면 적분과 선 적분으로 연결
4. 체적 적분 (Volume Integral)
ㅇ 공간 내 다변수함수(스칼라장,벡터장)에 대해 체적으로 다변수 함수를 적분하는 것
ㅇ 3차원 공간의 영역에 정의된 다변수 함수 또는 장(Field)을 체적에 걸쳐 적분하는 것
- 스칼라장 {#f(x,y,z)#}의 체적 적분
. 적분 결과 : 스칼라량
. 例) 밀도 분포로부터 물체의 질량 계산
- 벡터장 {#\mathbf{F}(x,y,z)#}의 체적 적분
. 적분 결과 : 각 성분을 체적에 대해 적분하여 벡터량을 얻음
. 例) 공간에 분포된 벡터량의 총합
※ 체적 적분은, 일반적으로 삼중 적분으로 나타냄