Taylor Series, Maclaurin series   테일러 급수, 매클로린 급수

1. 테일러 급수(Taylor Series), 테일러 급수 전개(Taylor Series Expansion)

  ㅇ 함수를 멱급수 (다항식) 형태로 표현 (근사)하는 방법
     - 수치적으로 정확하게 다루기 어려운 함수들에 대해,
     - 도함수가 포함된 다항식 형태로 근사화하는 방법 (다항식 근사)

  ※ Brook Taylor (1685~1731) : 영국 수학자 (Newton의 후계자임을 자청)


2. 테일러 급수의 용도

  ㅇ 함수를 근사화시킬 수 있음 
     - (도함수 포함 멱급수 형태로써) 
  ㅇ 함수 값을 근사적으로 구할 수 있음
     - 어떤 점에서의 함수값을, 그의 도함수값들을 사용하여, 근사시킴
  ㅇ 근사의 정확성(오차 크기) 정도를 어림할 수 있음


3. 테일러 급수의 특징

  ㅇ 급수의 각 항 계수들이 그 함수의 도함수와 관련되어짐
     - 만일, f(x)가 중심 a에서 해석적(무한번 미분가능 등)이면 다음과 같이 표현 가능 
        
[# f(x) = \sum^{\infty}_{k=0} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^k #]
        . 위 식은, 중심 a에 관한 어떤 개구간에서도 성립됨
        . 한편, 점 a는, 중심점 또는 동작점 또는 기준점 이라고도 불리움

  ㅇ [참고]
     - 매끄러운(해석적) 함수에 대해서는, 항상, 멱급수(또는 다항식) 형태로 전개 가능


4. 테일러 급수 및 매클로린 급수의 전개

  ※ (어떤 한 점의 함수값에 대한, 멱급수 근사 또는 전개)

  ㅇ 테일러 급수 (Taylor Series) 근사 또는 전개
     - 어떤 한 점의 함수값에 대해, 중심점 a에서의 함수값과 그 미분값들로 표현
        .  
[# f(x) = f(a) + (x-a)f'(a) + \frac{(x-a)^2}{2!}f''(a) + \cdots 
                   = \sum^{\infty}_{n=0}\frac{(x-a)^n}{n!}f^{n}(a) #]
        .  
[# f(x+dx) = f(x) + (dx)f'(x) + \frac{(dx)^2}{2!}f''(dx) + \cdots #]
        .  
[# f(a+h) = f(a) + (h)f'(a) + \frac{(h)^2}{2!}f''(a) + \cdots #]

  ㅇ 매클로린 급수 (Maclaurin series) 근사 또는 전개
     - (중심 a = 0 일 때의 테일러급수 전개와 같음)
        .  
[# f(x) = \sum^{\infty}_{n=0}\frac{x^n}{n!}f^{(n)}(a) #]
            

5. 테일러 다항식 (Taylor Polynomial)  :  Tn(x)

  ㅇ 테일러 급수를 유한개 항의 다항식 만으로 나타낸 것
     -  n번째까지 만의 급수 합 (n차 다항식)
        

  ㅇ 근사값 계산에 이용됨
     -  n → ∞ 이 됨에 따라, Tn(x) → f(x)


6. 테일러 급수의 근사값

  ㅇ x = xi+1 근방의 f(x)에 대한 근사를, 
     -  x = xi를 중심으로 0차,1차,2차,..,n차 등으로, 근사하는 例
      


7. 테일러 근사의 오차  :  Rn(x)

  ㅇ f(x) = Tn(x) + Rn(x)

     -  Tn(x) : 테일러 다항식
         

     -  Rn(x) : 테일러 급수의 나머지항(remainder) 또는 절단오차
        . 오차의 크기와 관련됨
         


8. 주요 멱급수 (Maclaurin 급수) 표현   ☞ 급수 공식 참조