Power Series   멱 급수, 거듭제곱 급수

1. 멱 급수, 거듭제곱 급수 (Power Series, 冪級數)

  ㅇ 각 항들이 xn (x의 거듭제곱/멱) 형태의 무한급수
       
[# f(x)=\sum^{\infty}_{n=0} c_n x^n = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + \cdots + c_n x^n + \cdots #]
     - (cn : 상수 계수, x : 변수)

  ㅇ 특징 : 변수 x 값에 따라 수렴 또는 발산 함

  ㅇ 한편, 중심이 a인 거듭제곱(멱) 급수 (Power Series about a) 는,
       
[# f(x) = \sum^{\infty}_{n=0} c_n (x-a)^n = c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2
                                               + \cdots + c_n(x-a)^n + \cdots #]


2. 멱 급수의 주요 용도

  ㅇ 초등함수로 역 도함수(적분)를 구할 수 없을 때
  ㅇ 함수의 표현      ☞ 멱급수 전개, 함수 근사(다항식 근사) 참조
  ㅇ 미분방정식 풀이  ☞ 급수 해법 참조


3. 멱 급수에 의한 함수의 표현

  ㅇ 어떤 구간에서 멱급수에 의해 함수를 정의할 수 있음
     - 모든 해석함수는 테일러 급수라고하는 거듭제곱 급수로 표현 가능 (테일러 전개)
        . 멱 급수(거듭제곱 급수)는 대표적인 해석함수(Analytic Function) 임

  ㅇ 특히, 자연 과학에서 나오는 중요 함수들이 멱급수에 의해 표현이 가능함
     - Bessel 함수 등
       

  ㅇ 각 항이 (x-a)n의 멱함수 급수 형태가 아닌 다른 형태의 급수 
     - 삼각 급수(Trigonometric Series)
     - 푸리에급수 등 


4. 멱 급수의 수렴성

  ㅇ 주로,  x 값에 의존함
     - 멱급수 ∑cn(x-x0)n가 수렴하는 3가지 경우
        . x = x0 에서 만  수렴
           .. 즉, x = x0 에서 상수 항 c0를 제외하고는 모든 항이 0 이 됨
           .. 별로 유용한 멱급수가 아님
        . 모든 실수 x에 대해 수렴
           .. 수렴구간이 전체 실수인 경우와 같음
        . 수렴 반지름 내에서 수렴하고, 그 밖에서 발산

  ㅇ 수렴구간/수렴역 (region of convergence, ROC)
     - 멱급수가 수렴하는 x의 범위
        . 즉,  (x0 - R, x0 + R)
     - 모든 멱급수는 수렴구간을 갖음

  ㅇ 수렴반경 (radius of convergence)  R
     - 멱급수 ∑cn(x-x0)n 이
        .  |x - x0| < R 이면 수렴
        .  |x - x0| > R 이면 발산
     - 만일,
        . 중심 x0에서만 수렴한다면,  R = 0
        . 모든 x에서 수렴한다면,  R = ∞
     - 수렴반경은 비율판정법 등에 의해 구할 수 있음

     

  ㅇ 멱급수 수렴 판정
     - 주로, 비율판정법(Ratio Test)을 사용함

  ※ [참고] ☞ 급수의 수렴(Series Convergence) 참조