표본분포의 통계적 특성

1. 표본 분포에 의한 통계적 추정

  ㅇ 표본 분포 이란?
     - 모집단에 대한 통계적 추론을 위해, 무수히 많은 기회 표본 집단에 대해, 
     - 표본 통계량을, 확률변수로 취하는, 확률 분포

  ㅇ 그러나, 모집단의 `확률분포 모양` 및 표본의 `표본추출 크기`가 달리 주어지면(알려지면),
     - 그에 따라, 취해지는 표본들의 특성이 달라지게 됨

  ㅇ 따라서, `모집단 확률분포 및 모수에 대한 통계적 추정`을, 
     - 아래와 같이, 경우에 따라 다르게 해야 함


2. `모집단이 정규분포 일 때`, 표본분포의 통계적 특성

  ㅇ (분포 모양)
     - 표본평균들의 표본분포  =>  좀더 뽀족한 정규분포를 이룸
         
[# \overline{X}_n \; \sim \; N\left( μ,\;\frac{σ^2}{n} \right) #]

  ㅇ (평균)
     - 표본평균들의 평균 => 모집단 평균과 같아짐
         
 
  ㅇ (분산)
     - 표본평균들의 분산 => (모집단 분산 x 1/n)과 같아짐
         

  ㅇ (표준편차 => 표준오차)
     - 표본평균들의 표준편차 (즉, 표준오차) => (모집단 표준편차 x 1/√n)과 같아짐
        . 표준오차 = 표본들의 표준편차에 대한 추정치 = 표본분포 상의 표준편차
           
[# \text{Std}\left[ \overline{X}_n \right] =
                σ_{\overline{X}} = \frac{σ}{\sqrt{n}} #]
          

  ㅇ (표준정규분포를 따르는, 표준화 확률 변수 Z)
     - 이때, 표본추출 확률변수 X̅n를 표준화한 변수 Z는 표준정규분포를 따름
         
[# Z = \frac{\overline{X}_n - μ}{\cfrac{σ}{\sqrt{n}}} \; \sim \; N(0,1) #]


3. `모집단이 정규분포가 아닐 때`, 표본분포의 통계적 특성

  ㅇ 표본크기가 클 때 => 중심극한의 정리, 대수의 법칙을 따름 (n이 대략 30 이상)

     - 표본평균들의 표본분포 =>  정규분포에 가까워짐
     - 표본평균들의 평균 => (모집단 평균)에 가까워짐 
     - 표본평균들의 분산 => (모집단 분산 x 1/n)에 가까워짐 
     - 표본평균들의 표준편차 (표준오차) => (모집단 표준편차 x 1/√n)에 가까워짐 

  ㅇ 표본크기가 작을 때
       
[# σ_{\overline{X}} = \frac{σ}{\sqrt{n}}\sqrt{\frac{N-n}{N-1}} #]


4. `모분산을 모르는 경우`

  ※ 모 표준편차 σ를 모르므로, t 분포를 따르는 표준화 확률변수 t로 변환시켜 적용함
 
  ㅇ (t 분포를 따르는, 표준화 확률변수 t)
       
[# t = \frac{\bar{x}-μ}{\cfrac{s}{\sqrt{n}}} #]
     - s : 표본 표준편차
     - n - 1 : 자유도