군 용어

1. 위수 (Order)

  ㅇ ①  군의 위수 (Order of a Group)
     - 군에 속한 원소의 총 개수
     - 표기  :  |G| = n  또는  O(G) = n 또는  G  또는  ord(G) = n

     * 한편,
        . 체의 경우에는, 체의 원소의 갯수  ☞ 체 용어 참조
        . 집합의 경우에는,  ☞ Cardinality (원소의 개수,基數) 참조

  ㅇ ②  원소의 위수 (Order of an Element) 
     - 표기  :  |g|  또는  o(a)
     - 원소를 여러 번 거듭제곱하여, 항등원이 되게 하는 최소의 양의 지수
        . 즉, gn = e 가 되게하는 최소 자연수 n을 말함
        . 이렇게 항등원이 되게하는 지수를 만족하는 최소 자연수가 존재할 때,
        . 이때, 유한 위수(finite order)를 갖는다고 함
     - 만일, 항등원이 되게하는 지수가 나오지 않는다면, 
        . 이때, 무한 위수(infinite order)를 갖는다고 함

     - 例) G = {1,-1,i,-i}에서,
        . 원소 -1에 대해, (-1)2 = 1이므로, o(-1) = 2
        . 원소 i에 대해, i2 = -1, i3 = -i, i4 = 1이므로, o(i) = 4 
        . 원소 -i에 대해, (-i)2 = -1, (-i)3 = i, (-i)4 = 1이므로, o(-i) = 4


2. 라그랑지 정리 (Lagrange's Theorem)

  ㅇ 만일, H가 유한군 G의 부분군이라면,
     -  o(H)|o(G) 이고, (G 위수가 H 위수로 나누어 떨어짐) 
     -  o(G) = o(H)[G:H] 임

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