1. 존재성(唯一性)과 유일성(存在性)
ㅇ 수학, 논리학, 과학 전반에서 매우 기본적이고 중요한 개념
ㅇ 이 둘은 종종 함께 등장하며, 어떤 대상이나 해가,
- "존재하고 또한 유일하다"고 할 때,
- "존재와 유일성(Existence and Uniqueness)" 정리로 불리움
2. 존재성 (Existence)
ㅇ 어떤 조건이나 성질을 만족하는 대상이 적어도 하나는 존재함을 말함
- 즉, 그러한 것이 존재하고 있음을 뜻함
ㅇ 존재성 증명 방법
- 직접 구성 (constructive proof) 방법 : (직접 예를 제시하여 존재를 보임)
. 실제로 그러한 대상을 구체적으로 만들어서 보여줌
.. 例) "2x = 6"의 해는, x = 3 이 존재함
- 비 구성적 증명 (non-constructive proof) 방법 : (논리적으로 존재를 보임)
. 직접 만들지 않아도, 논리적으로 그러한 대상이 존재하지 않을 수 없음을 보임
.. 例) 연속함수 f(x) = x³− x − 2 는, f(1) < 0, f(2) > 0 이므로,
해가 반드시 존재할 것임
.. (중간값 정리에 의해 존재만 보이고, 실제 해는 구하지 않음)
.. (즉, 비구성적 증명 방법임)
3. 유일성 (Uniqueness)
ㅇ 어떤 조건이나 성질을 만족하는 대상이 오직 하나뿐임을 말함
- 즉, 그 조건을 만족하는 두 대상이 있다면, 그 둘은 서로 같아야 한다는 것을 뜻함
ㅇ 유일성 증명 방법 : (대부분, 2개로 가정하고 그것이 같음을 보임)
- 두 개 있다고 가정하고,
. 조건을 만족하는 대상이 2개 있다고 두고 (예: a와 b)
- 그 둘이 같음을 증명함
. 논리적 추론을 통해, 결국 a = b임을 보이면,
. 그 조건을 만족하는 것은, 결국 하나뿐임을 증명하게 되는 셈임
4. 존재성과 유일성의 관계
ㅇ 둘이 함께 다루어질 때, 어떤 수학적 문제의 정확한 해석 가능성을 보장
- 존재성 : 적어도 하나 있다
. 형식적 (수리 논리식) 표현 : ∃x : P(x)
.. 조건 P(x)를 만족하는 x가 적어도 하나 존재한다
- 유일성 : 단 하나만 있다
. 형식적 (수리 논리식) 표현 : ∀x, y : (P(x) ∧ P(y)) → x = y
.. 조건 P(x)를 만족하는 두 대상이 있다면, 그 둘은 같다
- 존재와 유일성 : 단 하나 만이 존재한다
. 형식적 (수리 논리식) 표현 : ∃!x : P(x) (여기서, ∃!는, "존재하며 유일하다"를 의미)
.. 조건 P(x)를 만족하는 대상이 하나 그리고 오직 하나 존재한다