Moment about origin, Central Moment, Factorial Moment   확률 모멘트, n차 모멘트, 원점 적률, 중심 적률, 원점 모멘트, 중심 모멘트, 계승 적률

(2024-02-08)

모멘트 , 적률


1. 확률 적률 (확률 모멘트)확률분포의 분포 특성에 따라 그 대표값이 정해지도록 일반화시킨 통계량 표현

  ㅇ 즉, 모집단 확률분포의 분포 특성에 대한 정보를 제공
     - 확률분포 상의 여러 통계량을 일원적으로 살펴볼 수 있음


2. 확률 적률(모멘트)의 표현 방식

  ㅇ 표현 방식
     - 대부분, 기대값함수 E[Xn]로 표시함

  ㅇ 모멘트(적률)의 차수
     - 0차 적률  :  확률분포 면적
     - 1차 적률  :  기대값
     - 2차 적률  :  분산
     - 3차 적률  :  왜도
     - 4차 적률  :  첨도

     * 즉, 확률변수 X가 취하는 확률분포로부터, 
        . 대표값(평균,분산,왜도,첨도 등)을 보다 일반화시켜 표현 가능

  ㅇ 모멘트(적률)의 이산적,연속적 표현 
     - 이산확률변수 n차 적률  :  {# m_n = E[X^n] = \sum_{x} x^np_{\scriptsize X}(x)dx #}
     - 연속확률변수 n차 적률  :  {# m_n = E[X^n] = \int^{\infty}_{-\infty} x^nf(x)dx #}


3. 확률 적률(모멘트)의 종류

  ㅇ 원점 적률(모멘트) (Moment about origin) 
     - 원점을 중심으로하는 k차 모멘트
        
[# m_k = E[X^k] = \left\{ \begin{array}{ll} \sum x^k p(x) & \text{(discrete)} \\ & \\ \int x^k f(x)dx & \text{(continuous)} \end{array} \right. #]
ㅇ 중심 적률(모멘트) (Central Moment) - 평균값을 중심으로하는 k차 모멘트
[# μ_k = E[(X-μ)^k] = \left\{ \begin{array}{ll} \sum (x-μ)^k p(x) & \text{(discrete)} \\ & \\ \int (x-μ)^k f(x) dx & \text{(continuous)} \end{array} \right. #]
계승 적률(모멘트) (Factorial Moment)
[# E[(X)_k] = E[X(X-1) \cdots (X-k+1)] #]
ㅇ 결합 적률(모멘트) (Joint Moment) - 결합 확률분포에 의해 정해지도록 일반화시킨 통계량 표현
[# E[X^jY^k] = \int^{\infty}_{-\infty} \int^{\infty}_{-\infty} x^jy^kf_{XY}(xy) dxdy #]
4. k차 원점 적률(모멘트) 표현 例 ㅇ 0차 원점 적률(모멘트) : f(x)의 면적 - m0 = 1 ㅇ 1차 원점 적률(모멘트) : 평균에 대한 기대값 -
[# m_1 = E[X^1] = \left\{ \begin{array}{l} \sum x^1 p_X(x) = \bar{x} \\ \\ \int^{\infty}_{-\infty} x^1 f_X(x) dx = \bar{x} \end{array} \right. #]
ㅇ 2차 원점 적률(모멘트) : 제곱평균(분산)에 대한 기대값 - m2 = E[X2] = ∑ x2 PX(x) = ∫ x2 f(x) dx ㅇ 3차 원점 적률(모멘트) : 왜도(Skewness) 기대값 (분포의 비대칭 정도의 측도) - m3 = E[X3] = ∑ x3 PX(x) = ∫ x3 f(x) dx ㅇ 4차 원점 적률(모멘트) : 첨도(Kurtosis) 기대값 (분포의 뽀족한 정도의 측도) - m4 = E[X4] = ∑ x4 PX(x) = ∫ x4 f(x) dx ㅇ k차 원점 적률(모멘트) -
[# m_k = E[X^k] = \int^{\infty}_{-\infty} x^k f(x) dx #]
5. k차 중심 적률(모멘트) 표현 例 ㅇ 0차 중심 적률(모멘트) : f(x)의 면적 - μ0 = 1 ㅇ 1차 중심 적률(모멘트) - μ1 = 0 ㅇ 2차 중심 적률(모멘트)
[# μ_2 = σ^2_{X} = E[(X-\bar{X})^2] = \int^{\infty}_{-\infty} (x-\bar{x})^2 f_X(x) dx #]
- 2차 중심 적률(모멘트)와 원점 적률(모멘트) 간의 관계
[# σ^2_{X} = E[X^2 - 2\bar{X}X + \bar{X}^2] = E[X^2] - 2\bar{X}E[X] + \bar{X}^2 \\ = E[X^2] - \bar{X}^2 = m_2 - m^2_1 #]
* 2차 중심 적률은, 분산이 됨 6. 적률생성함수 (Moment Generating Function, MGF)적률(모멘트)을 생성할 수 있는 특별한 함수기대값 - MX(t) = E[etX]
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[통계량]1. 통계량   2. 모멘트 (원점적률, 중심적률)   3. 적률생성함수   4. 비율  

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