Linear Form, Quadratic Form   일차 형식, 이차 형식, 1차 형식, 2차 형식

1. Form (형식) 이란?

  ㅇ (의미)
     - 수학적으로, 다항식 각 항의 차수에 대한 형태를 지칭하는 표현이지만,
     - 선형대수학에서는, 단순히 '식의 형태' 보다는, '벡터(들) → 스칼라'라는 관점을 주는 표현임
        . 벡터의 성분을 변수로 하여, 그 벡터로부터 스칼라값을 만들어내는 대수적 표현

  ㅇ (구분) 형식의 차수에 따라, 벡터와 행렬을 이용하여 표현 가능
     - Linear Form (선형 형식)  :  {#\mathbf{a}^T\mathbf{x}#}  (벡터 1개 → 스칼라, 1차)
     - Bilinear Form (쌍선형 형식)  :  {#B(\mathbf{x},\mathbf{y})=\mathbf{x}^TA\mathbf{y}#}  (벡터 2개 → 스칼라, 좌우 각각 1차)
     - Quadratic Form (이차 형식)  :  {#\mathbf{x}^TA\mathbf{x}#}  (벡터 1개 → 스칼라, 2차)


2. 일차 형식 (Linear Form), 이차 형식 (Quadratic Form) 이란?
 
  ㅇ 1차 형식 : 각 항이 모두 1차인 다항식 형태  ({#\mathbf{a}^T\mathbf{x}#})
     - 한편, 직교성과의 관계  :  {#\mathbf{a}^T\mathbf{x}=0#}이면 {#\mathbf{a}#}와 {#\mathbf{x}#}가 직교함

  ㅇ 2차 형식 : 각 항이 모두 2차인 다항식 형태  ({#\mathbf{x}^TA\mathbf{x}#})
     - 대칭행렬 A을 이용하여 표현 가능  :  
[# \mathbf{x}^T A \mathbf{x} #]
        . 이때의 대칭행렬 A를 이차형식의 행렬 이라고 함

  ※ 例) 두 변수 x,y를 갖는 2차 곡선 방정식 및 행렬곱 표현
       

  ※ 단, 이차식 (quadratic expression)이라 함은,
     - ax2 + bxy + cx + dy + e 처럼 최고 차수가 2인 것을 의미


3. Rn 상의 표현 例

  ㅇ Rn 상의 일차 형식
     -  a1x1 + a2x2 + … + anxn
        . 例1) R2 상의 일차 형식 :  a1x1 + a2x2
        . 例2) R3 상의 일차 형식 :  a1x1 + a2x2 + a3x3

  ㅇ Rn 상의 이차 형식  
     -  a1x12 + a2x22 + … + anxn2 + (xi ≠ xj인 모든 형태의 akxixj)
        . 例1) R2 상의 이차 형식 :  a1x12 + a2x22 + 2a3x1x2
              
        . 例2) R3 상의 이차 형식 :  a1x12 + a2x22 + a3x32 + 2a4x1x2 + 2a5x1x3 + 2a6x2x3
              


4. 이차 형식의 행렬곱 표현

  ㅇ 이차 형식은, 벡터와 행렬의 곱을 사용하여 표현 가능

  ㅇ 행렬 A와 연관된 이차형식 (quadratic form associated with A)
      
[# Q_A(x) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}
                = \mathbf{x} \cdot A \mathbf{x} 
                = A \mathbf{x} \cdot \mathbf{x}
                = \sum^n_{i,j=1} a_{ij} \mathbf{x}_i \mathbf{x}_j 
                = \text{(scalar value)} \\
         \qquad\;\; = a_1x_1^2 + a_2x_2^2 + a_3x_3^2 + a_4x_1x_2 + a_5x_2x_3 + a_6x_1x_3 \\
         \qquad\;\; = \begin{bmatrix}x_1&x_2&x_3\end{bmatrix} 
                      \begin{bmatrix}
                        a_1 & a_4/2 & a_6/2 \\
                        a_4/2 & a_2 & a_5/2 \\
                        a_6/2 & a_5/2 & a_3
                      \end{bmatrix}
                      \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}
      #]
     * n개 변수의 이차 형식은, n x n 대칭행렬 A을 이용하여, {#\mathbf{x}^T A \mathbf{x}#} 형태로 표현 가능
        . 행렬 A의 대각성분   : 제곱항({#x_1^2,x_2^2,x_3^2#})의 계수(5,3,2)로 된 대각행렬
        . 행렬 A의 비대각성분 : 혼합항({#x_1x_2,x_2x_3#})의 계수(-1,8)의 1/2로 된 대칭행렬

  ㅇ 例) 
         
[# 5x_1^2 -x_1x_2 +3x_2^2 + 8x_2x_3 + 2x_3^2 \\
            \mathbf{x}^T A \mathbf{x} = 
                      \begin{bmatrix}x_1&x_2&x_3\end{bmatrix} 
                      \begin{bmatrix}
                        5    & -1/2 & 0 \\
                        -1/2 & 3    & 4 \\
                        0    & 4    & 2
                      \end{bmatrix}
                      \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}
         #]