1. 정역 (Integral Domain)
※ 쉽게, 정수(숫자)의 성질을 추상화한 것으로,
- 곱셈이라는 연산이 정의되어 있고, 곱셈에 대한 특별한 성질을 갖는 집합
ㅇ 곱셈 항등원(단위원,1)을 갖고, 영 인자(0의 약수)를 갖지 않는, 가환환
※ 여기서, 영 인자 (Zero Divisor) 이란?
- 통상 (특히, 이항 구조 하에서는),
. 자연수,정수,유리수,무리수,실수 등에서는,
. 두 수의 곱 형태가 0 이려면, 적어도 둘 중 한 원소가 0 이어야 함
. 즉, a = 0 또는 b = 0 일때 만, 비로소 a b = 0 이 됨
- 그러나, 특별한 대수 구조 하에서는,
. 비록, 0 이 아닌 두 수를 곱하여도, 0 이 되는 경우가 있음
. 이때, 곱해지는 두 수를 영 인자 라고 함
ㅇ (정역의 정의)
- R을 단위원(곱셈 항등원)을 갖는 가환환이라 하고,
- 임의 a,b ∈ R에 대해,
- a * b = 0 일때, a = 0 또는 b = 0 을 만족하면,
- R을 정역 이라고 함
2. 정역의 특징, 성질
ㅇ 단위원 1을 갖음
ㅇ 영 인자(0의 약수)를 갖지 않음
- 따라서, 곱의 형태가 0 이려면, 반드시 적어도 둘 중 한 원소가 0 이어야 함
ㅇ 만일, 정역에서 영이 아닌 모든 원소가 곱셈 역원을 가지면,
- 이때는, 체가 됨
3. 정역의 例)
ㅇ 정수,유리수,실수,복소수 등
ㅇ 소수체(Prime Field) Z = {0,1,...,p-1} (p는 소수)
ㅇ 정수 계수 다항식환 Z[x] 등