Hypergeometric Distribution   초기하 분포

1. 초기하 확률분포

  ㅇ 모집단에서 비복원추출을 통해, 표본을 채취하는 베르누이 시행에 대한, 이산형 확률분포

  ㅇ 이항분포와 다른점
     - 매 시행이 서로 통계적 독립인(서로 영향을 주지않는) 이항분포와는 달리,
     - 앞의 시행이 다음 시행에 영향을 주는 경우의 확률적 모형


2. 초기하 확률분포 특징

  ㅇ 초기하 분포의 표기  :  X ~ HGe(N,M,n)
     - N : 유한 모집단 크기
     - M : 관심있는 사건의 개수 (M < N)
     - N - M : 관심없는 사건의 개수  
     - n : 표본 크기 (n < N)
     - X : 확률변수 (표본 n 내에서 관심있는 사건의 개수, x = 0,1,2,...,n)

  ㅇ 확률질량함수
      
[# P(X=x) = \frac{{_MC_x} \cdot {_{N-M}C_{n-x}}}{{_NC_n}} #]
     - (분모) 전체 N개 중 동시에 n개를 표본 추출 (비복원추출) : {#{_NC_n}#}
     - (분자) 결합사상으로, 다음 두 경우를 곱함
        . 관심있는 M개 중 x개 경우의 수 : {#{_MC_x}#}
        . 관심없는 N-M개 중 n-x개 경우의 수 : {#_{N-M}C_{n-x}#}

  ㅇ 평균 
      
[# E[X] = nM/N #]

  ㅇ 분산
      
[# Var[X] = \frac{nM}{N} \left( 1 - \frac{M}{N} \right) \left( \frac{N-n}{N-1} \right) #]


3. 이항분포, 다항분포, 초기하분포 비교

    

  ㅇ 例) [통계적품질관리]
     - 불량률 p, 로트 크기 N 에서, 표본 크기 n 으로 샘플링할 때에, 불량개수 X의 확률분포는?
        . 복원추출 : 이항분포를 따름
        . 비복원추출 : 초기하분포를 따름