1. 복소 파수(Complex wave number), 복소 전파정수(Complex propagation constant)
ㅇ 파수 (Wave Number)
- 파동의 진행 거리(파장)의 역수 또는 단위길이당 위상천이(라디안 위상차)
ㅇ 전파 정수 (Propagation Constant)
- 매질을 고려한 파수
ㅇ 복소 파수 (Complex Wave Number), 복소 전파정수 (Complex Propagation Constant)
- 주파수에 따라 변하는 매질 특성(ε,μ등)을 반영토록 복소수 형태를 띔
. 주파수에 의존하는 매질에서의 감쇠(손실) 및 위상 변동을 모두 내포하는 개념
2. 복소 전파정수(감쇠정수, 위상정수)의 정의(유도)
※ 시변정현파계({#jω#})에 대한 헬름홀츠 파동방정식에서,
[# \nabla^2 \mathbf{E}_s - γ^2 \mathbf{E}_s = 0 \quad \text{or} \quad \nabla^2 \mathbf{E}_s + k^2 \mathbf{E}_s = 0 #]
[# γ^2 = (jk)^2 = jωμ(σ+jωε) #]
- {#μ#} : 투자율
- {#ε#} : 유전율
- {#σ#} : 도전율
ㅇ 복소 전파정수 : {# γ(jω) = jk = α(ω) + jβ(ω) #} [1/m]
- {#γ(jω)#} : 복소 전파정수 (Complex Propagation Constant)
[# γ^2 = (α + jβ)(α + jβ) = α^2 - β^2 + 2jαβ #]
- {#k#} : 파수 (Wave Constant) 때론, 파수 벡터 (Wave Number Vector)
- {#α#} : 감쇠 정수 (Attenuation Constant)
- {#β#} : 위상 정수 (Phase Constant) 또는 파수(Wave Number)
ㅇ 다음 두 식으로부터, {#α#},{#β#}에 대해 각각 정리하면,
[# Re[γ^2] = α^2 - β^2 = -ωμε \\
|γ^2| = α^2 + β^2 = ωμ \sqrt{ω^2ε^2 + σ^2} #]
ㅇ {#α#} : 감쇠 정수 (Attenuation Constant)
[# α = ω \sqrt{\frac{με}{2}\left( \sqrt{1+\left( \frac{σ}{ωε} \right)^2} - 1 \right) } #]
- 파가 진행하며 단위길이당 감소되는 율 [ dB/m ] ☞ 감쇠계수 참조
. 매질 내에서 파의 공간적 감쇠율
. 진행파가 겪는 도체 또는 유전체 손실에 의한 감쇠
ㅇ {#β#} : 위상 정수 (Phase Constant) 또는 파수(Wave Number)
[# β = ω \sqrt{\frac{με}{2}\left( \sqrt{1+\left( \frac{σ}{ωε} \right)^2} + 1 \right) } #]
- 파가 진행한 단위길이당 위상차(위상변화량) [ Radian/m ]
* 주파수 의존성이 있을 때는 `파수 k` 보다는 `위상정수 β`로 주로 표기함
3. 매질을 고려한 `공간 전자기파(평면파)`의 복소 전파정수
ㅇ 자유 공간 (Free Space)
- 매질이 없으므로, ({#σ=0#}, {#ε=ε_o#}, {#μ=μ_o#}, {#α=0#})
- 또한, 감쇠도 없으므로, 실수부 감쇠정수는 0 이며, 허수부 위상성분 만 드러남
[# β = ω\sqrt{με} = ω\sqrt{μ_oε_o} = \frac{ω}{c} = \frac{2π}{λ} #]
ㅇ 무 손실 매질 (Lossless Dielectric, 완전 유전체)
- 매질이 있으나, 완전 유전체이므로, ({#σ\approx0#}, {#ε=ε_oε_r#}, {#μ=μ_oμ_r#}, {#α=0#})
. (완전 유전체 : 전자기파가 전파하면서 전력을 하나도 잃지않음)
[# γ = jβ = jk \\
k = β = ω\sqrt{με} = \frac{2πf}{v} = \frac{2πf}{fλ} = \frac{2π}{λ} #]
ㅇ 손실 매질 (Lossy Dielectric, 불완전 유전체, 손실 유전체)
- 매질이 있으나, 불완전 유전체이므로, ({#σ\neq0#}, {#ε=ε_oε_r=ε_c#}, {#μ=μ_oμ_r#}, {#α\neq0#})
[# γ = α + jβ = \sqrt{jωμ(σ+jωε)} = jω\sqrt{με}\sqrt{1-j\frac{σ}{ωε}} #]
- 불완전 유전체는 다음과 같이 복소 유전율로도 표현 가능
[# ε_c = ε_oε_r = ε_o(ε_r'-jε_r'') = ε'-jε'' \\
\quad = ε(1-j\frac{σ}{ωε}) = ε(1-j\tanθ) #]
ㅇ 양 도체 (Good Conductor)
- 매질이 있으나, 양질의 도체이므로, ({#σ\approx\infty#}, {#ε=ε_o\ll1#}, {#μ=μ_oμ_r#}, {#α\neq0#}, {#σ/ωε\gg1#})
- {#σ/ωε\gg1#}에 따라, 감쇠정수,위상정수가 각각 다음과 같이 되어,
[# α = β = \sqrt{\frac{ωμσ}{2}} = \sqrt{πfμσ} #]
- 전자기파가 급격히 감소되며 표피효과가 나타남
. 표피깊이 : [# δ = \frac{1}{α} = \frac{1}{\sqrt{πfμσ}} = \sqrt{\frac{2}{ωμσ}} #]
ㅇ 완전 도체 (Perfect Conductor)
- 무한의 전도율을 갖으며, ({#σ=\infty#})
- 외부 장의 변화에 그대로 따르며, 어떤 복원력도 없으며, 어떤 고유진동수도 없고,
- 어떤 흡수도 없고, 표피효과도 없이, 단지 재방출 만 있게 됨
4. 매질을 고려한 `전송선로 전류파/전압파`의 복소 전파정수
※ ☞ 전송선로 복소 전파정수 참조
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