1. 한정사/한정자/양화사 (Quantifier) 또는 술어 한정사/한정자 (Predicate Quantifier)
ㅇ 한정자란, 논리식에서 변수의 범위(량, domain of discourse)를 한정시켜,
- 술어(predicate)를 명제(statement) 로 바꿔주는 기호
ㅇ 영어의 `all`,`some`,`any`,`every`,`nothing` 처럼, 량(量)을 한정시키는 것
- 단, 수학에서는, 엄격하게 2개 한정사(∀, ∃) 만을 사용 함
2. 한정자의 종류
ㅇ 기본 한정자 : ∀, ∃
- 전칭 한정자 (Universal Quantifier) : ∀
. `for all` `모든`, `임의의`
. 例) `임의의 a에 대하여` => `∀a`
. 例) ∀x P(x) : 모든 x에 대해 P(x)가 참
- 존재 한정자 (Existential Quantifier) : ∃
. `there exists`, `존재한다`
. 例) `a가 존재한다` => `∃a`
. 例) ∃x P(x) : P(x)를 만족하는 어떤 x가 존재한다
ㅇ 파생 한정자
- 유일 한정자 (Unique Quantifier) : ∃!
. `there exists exactly one`, `there exists a unique`, `유일하게 단 하나 존재하는`
. 例) `∃!x` => `단 하나의 x가 존재`
. 例) ∃x! P(x) : P(x)를 만족하는 x가 단 하나 존재한다
. (응용 및 활용)
.. 수학 논증 : "방정식의 해가 존재하며 유일하다" (미분방정식의 유일성 정리 등)
.. 형식 논리 및 증명 : 증명 대상의 존재성과 유일성 (existence & uniqueness)
.. 컴퓨터 과학/AI : 데이터베이스 논리, 의미론에서 특정 개체를 유일하게 지정할 때
- 부정 전칭 한정자 (Negated Universal Quantifier) : ¬∀
. `not all`, `not every`, `모두 아닌`
. 例) `¬∀x` => `모든 x가 그런 것은 아님`, `not all x`
. 例) ¬∀x P(x) => 모든 x가 P(x)인 것은 아니다
- 부정 존재 한정자 (Negated Existential Quantifier) : ¬∃
. `there does not exist`, `no`, `none`, `존재하지 않는`
. 例) `¬∃x` => `그런 x는 존재하지 않음`
. 例) ¬∀x P(x) => 어떤 x도 P(x)인 것은 없다
3. 한정자의 특징
ㅇ 집합적 의미
- 한정자는 주어진 논의의 영역(domain)에서,
- 변수가 취할 수 있는 집합적 범위를 지정(한정시킴)
ㅇ 주로, 문장 내 서두에 오는 경우가 많음
- 전체 술어의 적용 범위를 정의
- 例) ∀x (P(x) → Q(x))
ㅇ 특히, 량(量)을 제한 만 함으로써도 술어를 명제로 만들 수 있음
- 술어 내 각 변수들에 값을 직접 지정 않고서도
. (술어 : 변수가 포함된 문장으로, 변수가 특정값으로 정해지면 술어는 명제가 됨)
- 량(量)을 한정 만 (한정자를 사용) 함으로써, 술어를 명제로 만들 수 있음
- 例)
. P(x) : 술어 ("x는 사람이다")
. ∀x P(x) : 명제 ("모든 x는 사람이다")
. ∃x P(x) : 명제 ("사람인 x가 존재한다")