1. 논리 연산의 주요 정리(법칙)
ㅇ 논리변수 및 논리연산들이 서로 엮어지는 성질들에 관한 정리(법칙) 셋
- 교환 법칙
[# A B = B A #]
[# A + B = B + A #]
. (`위치`를 달리하여도 그 결과가 같다는 법칙)
- 결합 법칙
[# (A B) C = A (B C) #]
[# (A + B) + C = A + (B + C) #]
. (`순서`를 달리하여도 그 결과가 같다는 법칙)
- 분배 법칙
[# A (B + C) = A B + A C #]
[# A + (B C) = (A + B) (A + C) #]
. (한 연산에 대해 다른 연산을 `분배`하여도 성립한다는 법칙)
ㅇ 항등 법칙 (Operations with 0 and 1)
[# 0 \cdot A = 0 \quad 0 + A = A \\
1 \cdot A = A \quad 1 + A = 1 #]
- (0과의 곱은 0, 0과의 합은 자기자신(항등원))
- (1과의 곱은 자기자신(단위원), 1과의 합은 1)
ㅇ 멱등 법칙, 동일률 (Idempotent Law) ☞ 멱등 법칙, 멱등성 참조
[# A A = A, \quad A + A = A #]
- (자기 자신을, OR 또는 AND 중복 연산하여도, 다시 자기 자신이 됨)
ㅇ 반전 법칙 (Negation Law, Involution Law)
[# \overline{(A)} = \overline{A}, \quad
\overline{(\bar{A})} = \overline{\overline{A}} = A #]
- (중복 반전은 다시 자기자신이 됨)
ㅇ 상보성 법칙 (Law of Complementarity)
[# A \cdot \overline{A} = 0, \quad A + \overline{A} = 1 #]
- (자신 및 반전값과의 AND 는 0 이고, OR 은 1 이 됨)
. 자신과 자기보수와의 곱은 0
. 자신과 자기보수와의 합은 1
- (확장例)
. [# AB + A\overline{B} + \overline{A}B + \overline{A}\overline{B} = 1 #]
. [# \overline{A}\overline{B}\overline{C} + \overline{A}\overline{B}C
+ \overline{A}B\overline{C} + A\overline{B}\overline{C} + \overline{A}BC
+ A\overline{B}C + AB\overline{C} + ABC = 1 #]
ㅇ 흡수 법칙 (Absorption Law)
[# A \cdot (A+B) = A, \quad A \cdot(\overline{A} + B) = A \cdot B \\
A + A \cdot B = A, \quad A + \overline{A} \cdot B = A + B #]
- 어떤 큰 영역과의 AND는, 어떤 작은 영역과의 OR는, 그 자신이 됨
ㅇ 인접 법칙 (Logic Adjacency)
[# AB + A\overline{B} = A(A+\overline{B}) = A \cdot 1 = A #]
[# (A+B)(A+\overline{B}) = AA + A\overline{B} + BA + B\overline{B} \\
\qquad\qquad\qquad = AA + A\overline{B} + AB + 0 \\
\qquad\qquad\qquad = AA + A\overline{B} + AB \\
\qquad\qquad\qquad = A + A(\overline{B} + B) = A \cdot 1 = A + A = A #]
- 부울식 내 두 항 간에, 같은 변수들을 갖으나, 한 변수 만 다르면(logically adjacent),
- 이를 하나의 변수로 합칠 수 있음
ㅇ 드모르간의 법칙
[# \overline{\overline{A}+\overline{B}+\cdots} = \overline{A}\cdot\overline{B}\cdot\cdots#]
[# \overline{\overline{A}\cdot\overline{B}\cdot\cdots} = \overline{A}+\overline{B}+\cdots#]
- (논리식 전체를 반전시키면, `개별 변수의 반전 및 연산자의 뒤바뀜이 함께 일어남`)
※ 특히, 위 법칙들 중 `흡수 법칙`,`상보성 법칙`,`드모르간 법칙` 셋(3)이,
- "부울식의 간략화"에 크게 도움이 됨