스미스 챠트 표현

1. 스미스 챠트 표현 방법

  ㅇ 복소수 `반사계수` 및 그에 해당하는 `임피던스`를 중첩시킨 극좌표계 표현 형식
     - 복소 반사계수 평면(Γ 평면) 위에,
     - 그에 상응하는 정규화된 임피던스(등 저항 원족,등 리액턴스 원족)를,
     - 극좌표 형식으로 나타낸 챠트

  ㅇ 중첩되는 두 격자
     - 등 저항 원족 (constant-r circles)  :  정규화 저항 (0 ≤ r ≤ ∞)
     - 등 리액턴스 원족 (constant-x circles) :  정규화 리액턴스 (−∞ ≤ x ≤ ∞)


2. 반사계수 표현

  ㅇ 반사계수를 복소수 극 좌표계(Polar Coordinates)에 표시
      
[# \Gamma = |\Gamma_L| e^{j\theta} = \Gamma_r + j\Gamma_i #]
        
     - 크기 |Γ|  :  0 ≤ |Γ| < 1 (수동 부하)
        . 챠트 중심으로부터의 반경
     - 위상 θ  :  −180˚ < θ < +180˚
        . 우측 수평 기준선에서 반시계 방향 측정
     - 외주 눈금  :  한 바퀴(360˚) = λ/2의 전송선로 길이에 해당
        . 외주를 한 바퀴 회전하면 전송선로 상의 위치가 λ/2 만큼 이동한 것과 동등
        . 이는 cos2(βl)의 주기성에서 비롯됨
     - 회전 방향  :  시계 방향 → 신호원 방향, 반시계 방향 → 부하 방향
     - 특수점  
        . 중심 (Γ = 0)  :  완전 정합
        . 좌단 (Γ = −1)  :  단락
        . 우단 (Γ = +1)  :  개방


3. 정규화 임피던스 표현

  ㅇ 복소 반사계수 평면 위에 그에 상응하는 정규화된 임피던스(어드미턴스)를 직교시켜 표시
     - 부하 {#Z_L#}로 종단된 무손실 전송선로에서, 반사계수와 임피던스 간의 관계
        
[#\Gamma = \frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0} = \frac{Z_L/Z_0-1}{Z_L/Z_0+1} = \frac{z_L-1}{z_L+1}#]
     - 정규화 임피던스 {#z_L#} 정의  :  부하 임피던스 {#Z_L#}를 특성 임피던스 {#Z_0#}로 나눈 값
        
[# z_L = \frac{Z_L}{Z_0} = r_L + jx_L #]
       
  ㅇ 복소 평면 간의 수학적 관계
     - 평면 변환 관계  :  (임피던스 z 평면) → ({#Γ,r,x#}가 중첩된 스미스챠트 평면)
        
        . z 평면의 한 점 {#(r_L,x_L)#}은 Γ 평면의 한 점 {#(Γ_r,Γ_i)#}으로 일대일 대응
        . 이 변환은 뫼비우스 변환(Möbius transformation)의 일종으로, 
        . 직선과 원을 원으로 보존하는 성질

     - 매개변수 방정식 관계
        . 등 저항 원 (constant resistance circle equation, 매개변수 : rL)
           
[# \left(\Gamma_r - \frac{r_L}{1+r_L}\right) + \Gamma^2_i 
                        = \left(\frac{1}{1+r_L}\right)^2#]
           .. 중심 : (rL/(1+rL),0) (실수축 위)
           .. 반경 : 1/(1+rL)
           .. 특성 : {#r_L#} → ∞ 이면, 반경 → 0, 점 (+1,0)으로 수렴

        . 등 리액턴스 원 (constant reactance circle equation, 매개변수 : xL)
           
[#(\Gamma_r-1)^2 + \left(\Gamma_i-\frac{1}{x_L}\right)^2 
                        = \left(\frac{1}{x_L}\right)^2#]
           .. 중심 : (1,1/xL)
           .. 반경 : 1/xL
           .. 중심 수평선 위 : 양수(인덕터)
           .. 중심 수평선 아래 : 음수(커패시터) 를 나타냄

  ※ [참고_웹] ☞ (위키피디아) 스미트챠트 참조


4. 스미스챠트 의미

  ※ 스미스챠트에서 알아두어야할 사항 ☞ 스미스 챠트 의미 참조
     - 중심점  :  Γ = 0, z = 1 + j0  →  완전 정합 {#(Z_L = Z_0)#}
     - 실수축  :  순저항 부하 (리액턴스 = 0)
     - 외주원  :  |Γ| = 1  →  완전 반사 (무손실 리액티브 부하)
     - 눈금  :  외주 눈금 (파장 단위 λ), 내부 눈금 (반사계수 크기 및 dB 스케일)
     - 회전  :  방향시계 방향 = 신호원 방향(거리 증가), 반시계 = 부하 방향
     - 한 바퀴  :  λ/2 이동  →  전송선로에서 임피던스는 λ/2 주기
     - 점의 위치  :  우측 실수축 - 순저항 (큰 값), 좌측 - 순저항 (작은 값/단락에 근접)